Funkcja homograficzna

asymptoty · środek symetrii · dziedzina · wartość w punkcie

y =

x +

Asymptota pionowa

x = 1

Asymptota pozioma

y = 1

Środek symetrii: (1, 1) · Dziedzina: x ≠ 1 · Zbiór wart.: y ≠ 1

Wartość dla x =

y = 2,5

Wykres funkcji homograficznej to hiperbola przesunięta o wektor [−d/c, a/c]. Warunek homograficzności: c ≠ 0 oraz ad − bc ≠ 0 (tu ad − bc = -3).

Funkcja homograficzna ma postać:

$y=\frac{ax+b}{cx+d},\quad c\neq 0,\ ad-bc\neq 0$

Jej wykresem jest hiperbola powstała z przesunięcia $y=\tfrac{k}{x}$ o wektor $\left[-\tfrac{d}{c},\ \tfrac{a}{c}\right]$ . Ma dwie asymptoty:

pionowa: $x=-\dfrac{d}{c}$ (miejsce zerowe mianownika),
pozioma: $y=\dfrac{a}{c}$ .

Ich przecięcie to środek symetrii hiperboli. Dziedzina to $x\neq-\tfrac{d}{c}$ , a zbiór wartości $y\neq\tfrac{a}{c}$ . Warunek $ad-bc\neq 0$ gwarantuje, że funkcja nie redukuje się do stałej.

Przykłady

y = (x+2)/(x−1)

→ asymptoty: x=1, y=1; środek (1,1)

Wartość w x=3

→ y = (3+2)/(3−1) = 2,5

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć asymptoty funkcji homograficznej?+

Asymptota pionowa to x = −d/c (tam mianownik = 0), a pozioma to y = a/c. Ich przecięcie jest środkiem symetrii hiperboli, czyli wektorem przesunięcia względem y=k/x.

Kiedy funkcja jest homograficzna?+

Gdy c ≠ 0 (inaczej jest liniowa) oraz ad − bc ≠ 0 (inaczej upraszcza się do stałej). Wtedy wykresem jest hiperbola z dwiema asymptotami.

← Wszystkie kalkulatory