Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Granica ciągu

lim n→∞ dla ciągu wymiernego

Licznik (wielomian zmiennej n)Mianownik

lim_n→∞ aₙ

stopień licznika 2, mianownika 2 — równe stopnie → iloraz współczynników wiodących

Granicę ciągu wymiernego wyznacza porównanie stopni: dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n. Gdy stopnie są równe, granicą jest iloraz współczynników przy najwyższej potędze.

Granicę ciągu wymiernego (iloraz dwóch wielomianów zmiennej $n$ ) przy $n\to\infty$ wyznacza się, porównując stopnie licznika i mianownika:

stopień licznika niższy → granica $0$ ,
stopnie równe → iloraz współczynników przy najwyższej potędze,
stopień licznika wyższy → granica niewłaściwa ( $+\infty$ lub $-\infty$ ).

Technika: dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ ; człony niższego rzędu dążą do zera. Np. $\lim\dfrac{2n^2+3n-1}{n^2+5}=2$ . Wpisz oba wielomiany (potęgi zapisuj przez ^, np. 2n^2 + 3n - 1).

Przykłady

(2n² + 3n − 1)/(n² + 5)

→ = 2 (równe stopnie → 2/1)

(3n + 1)/(n² + 5)

→ = 0 (licznik niższego stopnia)

(n³ − n)/(5n² + 2)

→ = +∞ (licznik wyższego stopnia)

Powiązane materiały

Symulacja: liczba e jako granica →

Najczęstsze pytania

Jak liczyć granicę ilorazu wielomianów?+

Patrzysz na najwyższe potęgi n. Gdy stopnie są równe, granicą jest iloraz współczynników wiodących. Gdy licznik ma niższy stopień — granica to 0; gdy wyższy — nieskończoność.

Dlaczego człony niższego rzędu „znikają"?+

Po podzieleniu przez najwyższą potęgę n stają się ułamkami typu 1/n, 1/n², które przy n → ∞ dążą do zera. Zostaje tylko stosunek członów najwyższego stopnia.

← Wszystkie kalkulatory