Schemat Hornera

p(x₀) · dzielenie przez (x − x₀) · iloraz i reszta

Wielomian p(x)Punkt x₀

Wartość wielomianu (= reszta z dzielenia przez x−x₀)

p(2) = 1

Tabela Hornera (x₀ = 2)

1031

Iloraz z dzielenia p(x) : (x − 2) = x² + 3 reszta 1

Schemat Hornera szybko liczy p(x₀): każdą kolejną liczbę mnożymy przez x₀ i dodajemy następny współczynnik. Ostatnia wartość to reszta = p(x₀) (twierdzenie Bézouta); jeśli wynosi 0, to x₀ jest pierwiastkiem. Wcześniejsze liczby to współczynniki ilorazu.

Schemat Hornera to szybki sposób obliczania wartości wielomianu $p(x_0)$ i dzielenia go przez dwumian $(x-x_0)$ . Zamiast liczyć potęgi, wielomian zapisujemy zagnieżdżonym mnożeniem:

$a_nx^n+\dots+a_0=(\dots((a_n x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots)+a_0$

Kolejne wartości pośrednie to współczynniki ilorazu, a ostatnia — reszta, która według twierdzenia Bézouta równa się $p(x_0)$ . Jeśli reszta wynosi 0, to $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu (a $(x-x_0)$ jego dzielnikiem).

Kalkulator pokazuje tabelę Hornera, wartość $p(x_0)$ oraz iloraz z dzielenia. Metoda przydaje się do sprawdzania pierwiastków i obniżania stopnia wielomianu.

Przykłady

p(x)=x³−2x²+3x−5 dla x₀=2

→ p(2)=1; iloraz x²+3, reszta 1

p(x)=x²−4 dla x₀=2

→ p(2)=0 → 2 jest pierwiastkiem, iloraz x+2

Najczęstsze pytania

Do czego służy schemat Hornera?+

Do szybkiego liczenia wartości wielomianu i dzielenia przez (x−x₀). Przydaje się do sprawdzania, czy dana liczba jest pierwiastkiem, oraz do rozkładu wielomianu na czynniki.

Co mówi twierdzenie Bézouta?+

Reszta z dzielenia wielomianu p(x) przez (x−x₀) równa się p(x₀). Dlatego reszta 0 oznacza, że x₀ jest pierwiastkiem, a (x−x₀) dzieli wielomian bez reszty.

← Wszystkie kalkulatory