NexTutor
Baza wiedzy/Kalkulatory/Układ równań liniowych

Układ równań liniowych

Metoda wyznaczników (Cramera) · 2×2 i 3×3

Układ równań liniowych — ilustracja
x+y=
x+y=
Rozwiązanie (układ oznaczony)
x = 2
y = 1
Wyznaczniki (metoda Cramera)
W = -7
Wₓ = -14
W_y = -7
Wzory Cramera: x = Wₓ/W, y = W_y/W

Rozwiązuje układy równań liniowych metodą wyznaczników (Cramera). Dla układu 2×22\times2 liczymy wyznacznik główny i wyznaczniki liczników:

W=∣a1b1a2b2∣x=WxW, y=WyWW=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\quad x=\frac{W_x}{W},\ y=\frac{W_y}{W}

Rodzaj układu zależy od wyznaczników: W≠0W\neq0 → oznaczony (jedno rozwiązanie); W=0W=0 przy niezerowym liczniku → sprzeczny (brak rozwiązań); wszystkie wyznaczniki =0=0 → nieoznaczony (nieskończenie wiele). Kalkulator obsługuje też układy 3×33\times3.

Przykłady

2x + y = 5, x − 3y = −1
→ W = −7 → x = 2, y = 1
x + y = 2, 2x + 2y = 5
→ W = 0, Wₓ ≠ 0 → układ sprzeczny (proste równoległe)

Powiązane materiały

Symulacja: geometria układu równań →

Najczęstsze pytania

Kiedy układ jest sprzeczny, a kiedy nieoznaczony?+

Gdy W = 0: jeśli któryś wyznacznik licznika jest ≠ 0 — układ sprzeczny (brak rozwiązań, proste równoległe). Jeśli wszystkie liczniki też = 0 — nieoznaczony (proste się pokrywają).

Czym różni się od symulacji w Laboratorium?+

Symulacja pokazuje geometrycznie, jak położenie dwóch prostych decyduje o liczbie rozwiązań. Ten kalkulator liczy dokładne rozwiązanie (także 3×3) metodą Cramera.

← Wszystkie kalkulatory