Bryła sztywna — moment siły i moment bezwładności
M = r·F·sinα, I = Σmᵢrᵢ2 i II zasada Newtona dla ruchu obrotowego
Po tej lekcji będziesz umieć
Zdefiniować bryłę sztywną i opisać jej ruch obrotowy
oś obrotu, kąt φ, ω, ε
Obliczyć moment siły M = r·F·sinα
i wskazać ramię siły
Obliczyć moment bezwładności z definicji i ze wzorów
I = Σmᵢrᵢ2; wzory dla dysku, pręta, kuli
Zastosować II zasadę Newtona dla obrotu M = Iε
analog F = ma
Obliczyć pęd kątowy L = Iω
i zastosować zasadę zachowania L
Po co Ci to na maturze?
Bryła sztywna to nowy dział klasy 2 — na PR obowiązkowe są zadania z momentem siły, momentem bezwładności i toczeniem. Na PP rzadko, ale pojawia się dźwignia. Analogia z mechaniką punktu (M↔F, I↔m, ε↔a, L↔p) pozwala natychmiast przenieść wszystkie metody z klasy 1.
Najważniejsza idea
Wszystkie wzory z mechaniki punktu mają odpowiedniki obrotowe: F=ma → M=Iε, p=mv → L=Iω, W=F·Δx → W=M·Δφ. Nauczysz się jednego wzorca, zyskujesz dwa działy.
Intuicja zjawiska
Nakrętka bliżej osi klucza kręci się trudniej niż przy długiej rączce — to samo M = r·F. Tancerka przyciągająca ręce do ciała obraca się szybciej — to zasada zachowania pędu kątowego (I↓ → ω↑). Koło roweru kręci się długo — duże I oznacza opór przed zmianą ω.
Moment siły
M = r·F·sinα [N·m]. r — wektor od osi do punktu przyłożenia, α — kąt między r a F. Ramię siły = r·sinα. Moment jest wektorem (prawo ręki prawej).
Moment bezwładności
I = Σmᵢrᵢ2 [kg·m2]. Rozkład masy względem osi. Im dalej masa od osi, tym większe I. Zależy od osi — twierdzenie Steinera: I = + md2.
II zasada dla obrotu
ΣM = Iε. ε — przyspieszenie kątowe [rad/s2]. Analog F = ma. Duże I → małe ε dla tego samego M.
Wielkości i jednostki
Moment siły M :: [N·m] :: M = r·F·sinα; M = r⊥·F (r⊥ = ramię); dodatni CCW lub zgodnie z konwencją Moment bezwładności I :: [kg·m²] :: I = Σmᵢrᵢ²; wzory tabelaryczne dla brył jednorodnych Przyspieszenie kątowe ε :: [rad/s²] :: ε = ΔΩ/Δt; z ΣM = Iε: ε = ΣM/I…
Modele i zasady
:rule Moment siły M = r × F (iloczyn wektorowy). Wartość: M = r·F·sinα = r⊥·F, gdzie r⊥ = ramię siły.
Mapa modelu bryły sztywnej
:mapa-bryla
Teoria: wzory i interpretacje
Moment siły — wielkość wektorowa \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} ; jego wartość (moduł): M = r \cdot F \cdot \sin\alpha = r \perp \cdot F gdzie r \perp to ramię siły (prostopadła odległość od osi do linii działania siły). Znak momentu przyjmujemy zgodnie …
Solver momentów sił i bezwładności
:solver-bryla
Doświadczenie: wyznaczenie I walca przez toczenie
Cel: wyznaczyć moment bezwładności walca przez pomiar przyspieszenia podczas toczenia po pochyłni. Hipoteza: dla bryły toczącej się bez poślizgu: a = g·sinθ / (1 + I/(mR²)).
Przykład rozwiązany
Zadanie (styl CKE PR): Na dysk o masie m = 2,0 kg i promieniu R = 0,20 m (I = ½mR²) działa stała siła styczna F = 5,0 N na obwodzie. Oblicz: (a) moment siły, (b) przyspieszenie kątowe, (c) prędkość kątową po t = 3,0 s od startu.
Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam
Wahadło fizyczne: jednorodny pręt (m = 0,5 kg, L = 1,0 m) zawieszony na jednym końcu. Siła grawitacji działa w środku ciężkości (L/2 od osi).
Częste błędy
r w M = r·F to odległość punktu przyłożenia od osi :: Nie! r to wektor od osi do punktu przyłożenia, ale liczy się jego prostopadła składowa r⊥.
Powtórka w 30 sekund
To zapamiętaj przed zadaniami CKE M = r⊥·F :: moment siły [N·m] ΣM = Iε :: II zasada obrotowa I = ½mR² :: dysk, walec I = ⅓mL² :: pręt (koniec) L = Iω :: pęd kątowy I₁ω₁ = I₂ω₂ :: ZZL :key Analogia: F↔M, m↔I, a↔ε, p↔L. Każdy wzór z translacji ma bliźniaka …
Kluczowe pojęcia
Bryła sztywna :: ciało w którym odległości między punktami są stałe; ruch = translacja CM + obrót wokół osi Moment siły :: M = r×F; wartość M = r·F·sinα = r⊥·F [N·m]; mierzy zdolność siły do wywoływania obrotu Ramię siły :: r⊥ = r·sinα; prostopadła odległoś…
Sprawdź się i przećwicz
sub :: Bryła sztywna łączy translację i obrót — sprawdź, czy potrafisz liczyć momenty i stosować II zasadę dla obrotu. sprawdzian :: Moment siły, moment bezwładności, II zasada dla obrotu :: 15 min zbior :: Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku —…
Wzory w tablicach
Powiązane wzory maturalne
Powtórka do matury
Ten temat na maturze
Źródła, format CKE i materiały ZPE
men :: Fizyka ZR, dział IV pkt 1 — Dynamika bryły sztywnej. Zakres: moment siły, moment bezwładności, II zasada dla obrotu, pęd kątowy.
W tej lekcji
WZORY I WYKRESY
DOŚWIADCZENIE