Zbiory liczbowe — od liczb naturalnych do rzeczywistych — Matematyka klasa 1

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.1›Zbiory liczbowe — od liczb naturalnych do rzeczywistych

Po co Ci ten temat?

Bo prawie każde zadanie z matematyki zakłada, że rozumiesz, jakiego typu liczby masz przed sobą. Na sprawdzianie albo maturze dostaniesz pytania typu:

„Do jakiego zbioru należy liczba?"
„Czy ta liczba jest wymierna?"
„Zapisz rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych"
„Wskaż liczbę niewymierną"

Jeśli mylisz zbiory liczbowe, tracisz punkty w bardzo prostych zadaniach.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Mamy pięć podstawowych zbiorów liczbowych. Najpierw ustalmy konwencję (w NexTutor zero jest liczbą naturalną):

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}, \qquad \mathbb{N}_+=\{1,2,3,\ldots\}

Zbiór	Co zawiera	Przykłady
$\mathbb{N}$	liczby naturalne	$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$
$\mathbb{Z}$	liczby całkowite	$\ldots,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \ldots$
$\mathbb{Q}$	liczby wymierne	$\tfrac{1}{2},\ -7,\ 0{,}25,\ 0{,}(3)$
$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$	liczby niewymierne	$\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \pi$
$\mathbb{R}$	liczby rzeczywiste	wszystkie wymierne i niewymierne

Zbiory układają się warstwami — każdy następny zawiera poprzedni:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

Liczby niewymierne też należą do $\mathbb{R}$ , ale nie należą do $\mathbb{Q}$ — dlatego zapisujemy je jako $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ . Krótko:

\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})

Test wymierności (rozwinięcie dziesiętne). Liczba jest wymierna, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone albo okresowe; jest niewymierna, gdy rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe.

Zagnieżdżone zbiory liczbowe ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ z przykładami i osobno liczby niewymierne ℝ∖ℚ (√2, π) — Hierarchia zbiorów liczbowych: ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ. Przykłady: 0,1,2,3∈ℕ; −3,−1,0,4∈ℤ; ½, −2,5, 0,(3)∈ℚ; √2, π∈ℝ∖ℚ (niewymierne).

Infografika

Jak rozpoznać typ liczby?

klasyfikuj po kolei, od najmniejszego zbioru

1

Najpierw uprość

policz pierwiastki i skróć ułamki: √9=3 • 4/2=2 — dopiero potem klasyfikuj

2

Czy całkowita?

tak i ≥0 → naturalna (N); tak i <0 → całkowita (Z)

3

Da się zapisać jako a/b?

tak • rozwinięcie skończone lub okresowe → wymierna (Q)

4

Rozwinięcie nieskończone i nieokresowe?

np. √2 • π → niewymierna (R\Q) • ale wciąż rzeczywista (R)

Pamiętaj: Pierwiastek nie zawsze oznacza liczbę niewymierną: √9=3 jest naturalna. Najpierw uprość, potem klasyfikuj.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Najpierw uprość liczbę (policz pierwiastki i skróć ułamki): np. $\sqrt{9}=3$ , $\tfrac{4}{2}=2$ — dopiero potem klasyfikuj.
Sprawdź, czy to liczba naturalna ( $0,1,2,3,\ldots$ ).
Jeśli nie, sprawdź, czy jest całkowita (np. $-5,-1,0,8$ ).
Jeśli ma ułamek lub rozwinięcie dziesiętne, sprawdź, czy da się ją zapisać jako $\tfrac{a}{b}$ , gdzie $a,b\in\mathbb{Z}$ i $b\neq 0$ .
Rozwinięcie skończone albo okresowe → liczba wymierna ( $\mathbb{Q}$ ).
Rozwinięcie nieskończone i nieokresowe (np. $\sqrt{2}$ , $\pi$ ) → liczba niewymierna ( $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ).
Każda z tych liczb jest rzeczywista ( $\mathbb{R}$ ), o ile nie wychodzimy poza zakres licealny (np. $\sqrt{-1}$ ).

Przykład

Przykład rozwiązany

Zadanie: określ najmniejszy zbiór liczbowy, do którego należy liczba.

Liczba	Rozumowanie	Najmniejszy zbiór
$7$	dodatnia liczba całkowita	$\mathbb{N}$
$-4$	całkowita, ale nie naturalna	$\mathbb{Z}$
$\tfrac{3}{5}$	ułamek dwóch liczb całkowitych	$\mathbb{Q}$
$0{,}125$	rozwinięcie skończone	$\mathbb{Q}$
$0{,}(6)$	rozwinięcie okresowe	$\mathbb{Q}$
$\sqrt{9}$	to $3$	$\mathbb{N}$
$\sqrt{7}$	nie da się zapisać jako ułamek	$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$

Tabela pułapek (najczęściej mylone):

Liczba	Najmniejszy zbiór	Dlaczego
$\sqrt{9}$	$\mathbb{N}$	bo $\sqrt{9}=3$
$\sqrt{8}$	$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$	$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ — upraszcza się, ale nie do liczby wymiernej
$\sqrt{2}$	$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$	nie jest ułamkiem dwóch liczb całkowitych
$0{,}(3)$	$\mathbb{Q}$	rozwinięcie okresowe ( $0{,}(3)=\tfrac{1}{3}$ )
$\pi$	$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$	rozwinięcie nieskończone i nieokresowe
$-5$	$\mathbb{Z}$	całkowita, ale nie naturalna

Mini-zadanie: do jakiego najmniejszego zbioru należy $-2{,}5$ ? Odpowiedź: $\mathbb{Q}$ , bo $-2{,}5=-\tfrac{25}{10}=-\tfrac{5}{2}$ .

Sprawdź się — mini-check (PP)

Najmniejszy zbiór liczbowy: √16?
Najmniejszy zbiór liczbowy: −√25?
Najmniejszy zbiór liczbowy: 7/3?
Najmniejszy zbiór liczbowy: 0,125?
Najmniejszy zbiór liczbowy: π?
√8 — wymierna czy niewymierna?

Typowe pułapki i błędy

Pierwiastek ≠ zawsze niewymierna. $\sqrt{9}=3\in\mathbb{N}$ oraz $\sqrt{16}=4\in\mathbb{N}$ ; dopiero $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ są niewymierne. Najpierw uprość.
$\mathbb{Q}$ to nie tylko ułamki. Każda liczba całkowita jest wymierna, bo np. $5=\tfrac{5}{1}$ .
$0{,}(3)$ jest wymierne, bo rozwinięcie okresowe oznacza liczbę wymierną ( $0{,}(3)=\tfrac{1}{3}$ ).
Niewymierne też są rzeczywiste: $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$ .
Konwencja zera: w NexTutor przyjmujemy $0\in\mathbb{N}$ .

Wymierna czy niewymierna?

rozstrzyga rozwinięcie dziesiętne

wymierna

niewymierna

rozwinięcie skończone lub okresowe

1

rozwinięcie nieskończone i nieokresowe

przykłady: 0,25 · 0,(3) · √9 · 7/2

2

przykłady: √2 · √5 · π

da się zapisać jako a/b

3

nie da się zapisać jako a/b

Liczba jest wymierna dokładnie wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone albo okresowe.

Jak to wygląda na maturze?

Na maturze raczej nie dostaniesz długiej teorii o zbiorach — dostaniesz krótkie zadanie sprawdzające, czy szybko rozpoznajesz typ liczby. Typowe polecenia: wskaż liczbę niewymierną; oceń prawdziwość zdań o liczbach; uporządkuj liczby na osi; sprawdź, która liczba należy do danego przedziału; zdecyduj, czy wynik działania jest wymierny.

Wskazówka maturalna: często pytają o najmniejszy zbiór, do którego należy liczba — nie o wszystkie. I jeśli widzisz pierwiastek, najpierw sprawdź, czy da się go uprościć ( $\sqrt{9}=3$ ), zamiast zgadywać po wyglądzie.

Kluczowe pojęcia

Liczby naturalne

Liczby używane do liczenia, w szkolnej konwencji NexTutor: 0, 1, 2, 3 i dalej.

Liczby całkowite

Liczby bez części ułamkowej: dodatnie, ujemne i zero.

Liczby wymierne

Liczby, które można zapisać jako ułamek a/b, gdzie b nie jest zerem.

Liczby niewymierne

Liczby rzeczywiste, których nie da się zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych.

Liczby rzeczywiste

Wszystkie liczby na osi liczbowej: wymierne i niewymierne.

Rozwinięcie okresowe

Rozwinięcie dziesiętne, w którym pewien fragment cyfr powtarza się bez końca.

Materiały ZPE

3 materiały

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Zbiory i działania — zadania maturalne

Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%

1Po co Ci ten temat?
2Najważniejsza idea w prostych słowach
3Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
4Przykład rozwiązany
5Typowe pułapki i błędy
6Jak to wygląda na maturze?
Kluczowe pojęcia
Materiały ZPE

← Powrót do działu Następna lekcja →