NexTutor
Dział MAT.1.2›Jednomiany i wielomiany — dodawanie i mnożenie

Jednomiany i wielomiany — dodawanie i mnożenie

Klasa 1PodstawaKażdy przez każdy

Wielomiany ogarnia się przez porządek: najpierw redukujesz wyrazy podobne, potem mnożysz każdy składnik przez każdy. Najwięcej błędów bierze się nie z trudności tematu, tylko z gubienia znaków i potęg.

⏱ ~25 min
Jednomiany i wielomiany — dodawanie i mnożenie

Po co Ci ten temat?

Wielomiany to podstawowy język algebry w liceum — wracają przy równaniach, funkcji kwadratowej, funkcjach wielomianowych, wzorach skróconego mnożenia i zadaniach z parametrem. Jeśli umiesz porządkować wielomiany, kolejne tematy są dużo prostsze; jeśli nie — każdy przykład rozsypuje się przez drobne błędy znaków.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Jednomian to jeden algebraiczny „klocek": 3x23x^2, −5ab-5ab, 77. Wielomian to suma jednomianów: 2x2−3x+42x^2-3x+4. W jednomianie 7x27x^2 współczynnik to 77, a potęga zmiennej to 22. Ogólnie wielomian zmiennej xx zapisujemy W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0W(x)=anx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a1x+a0 (przy an≠0an\neq 0), a jego stopień to najwyższa potęga z niezerowym współczynnikiem: deg⁡W=n\deg W=n (np. 2x2−3x+42x^2-3x+4 ma stopień 22).

Najważniejsza zasada: dodawać i odejmować można tylko wyrazy podobne — czyli takie, które mają tę samą część literową i te same potęgi.

WyrazyPodobne?Dlaczego
3x3x i −5x-5xtakta sama litera xx w tej samej potędze
2x22x^2 i 7x27x^2takoba mają x2x2
4ab4ab i −ab-abtakoba mają abab
3x3x i 3x23x^2nieróżne potęgi xx
2xy2xy i 2x2y2x^2ynieinna potęga xx

Minus przed nawiasem (najczęstszy błąd) zmienia znak każdego składnika:

−(a−b+c)=−a+b−c-(a-b+c)=-a+b-c
Schemat pojęć

Mnożenie nawiasów — każdy przez każdy

przykład (x+3)(x−5)

x · x = x²

pierwszy składnik przez pierwszy

↓

x · (−5) = −5x

pierwszy przez drugi

↓

3 · x = 3x

drugi przez pierwszy

↓

3 · (−5) = −15

drugi przez drugi

Zapamiętaj: Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożysz przez każdy składnik drugiego, a potem redukujesz: x²−5x+3x−15 = x²−2x−15.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Dodawanie i odejmowanie:

  1. Usuń nawiasy; jeśli przed nawiasem jest minus, zmień znak każdego składnika.
  2. Zgrupuj wyrazy podobne.
  3. Dodaj współczynniki przy tych samych potęgach.
  4. Zapisz wynik od najwyższej potęgi do najniższej.

Mnożenie:

  1. Pomnóż każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego („każdy przez każdy").
  2. Pilnuj znaków (minus razy minus daje plus).
  3. Przy mnożeniu potęg tej samej podstawy dodawaj wykładniki: x2⋅x3=x5x2\cdot x3=x5.
  4. Zredukuj wyrazy podobne i uporządkuj wynik.
Wizualizacja· Mnożenie wielomianów — każdy składnik przez każdy
Siatka mnożenia (2x+3)(x−5) — 2x·x=2x², 2x·(−5)=−10x, 3·x=3x, 3·(−5)=−15, redukcja do 2x²−7x−15
Mnożenie wielomianów w siatce „każdy przez każdy": (2x+3)(x−5) → 2x², −10x, 3x, −15 → po redukcji 2x²−7x−15.

Co zauważyć: Siatka pilnuje, żeby nie zgubić żadnego iloczynu ani znaku. Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (dodawanie). Uprość (2x2−3x+4)+(x2+5x−7)(2x^2-3x+4)+(x2+5x-7):

(2x2+x2)+(−3x+5x)+(4−7)=3x2+2x−3(2x^2+x2)+(-3x+5x)+(4-7)=3x^2+2x-3

Przykład 2 (mnożenie). Wymnóż (x+3)(x−5)(x+3)(x-5):

x⋅x+x⋅(−5)+3⋅x+3⋅(−5)=x2−5x+3x−15=x2−2x−15x\cdot x+x\cdot(-5)+3\cdot x+3\cdot(-5)=x2-5x+3x-15=x2-2x-15

Przykład 3 (redukcja do liczby — maturalny). Uprość (x−2)(x+5)−(x2+3x)(x-2)(x+5)-(x2+3x):

x2+3x−10−x2−3x=−10x2+3x-10-x2-3x=-10

Po redukcji może zostać sama liczba — to częsty „haczyk". Stopień spadł tu z 22 (widoczne x2x2) do 00 — stopień określamy dopiero po redukcji, bo najwyższe potęgi mogą się skrócić.

Mini-zadanie: uprość (3x2−x+2)−(x2+4x−1)(3x^2-x+2)-(x2+4x-1). Odpowiedź: 2x2−5x+32x^2-5x+3 (minus przed nawiasem zmienia znaki).

Sprawdź się — mini-check
  • Redukcja: uprość (2x²−3x)+(x²+5x).
  • Minus przed nawiasem: uprość (3x−2)−(x+5).
  • Mnożenie: wymnóż (x+4)(x−1).
  • Mnożenie z minusem: wymnóż (2x−3)(x+2).
  • Współczynnik i potęga: podaj je dla wyrazu −6x³.
  • Stopień po redukcji: jaki stopień ma wynik (x−2)(x+5)−(x²+3x)?

Typowe pułapki i błędy

  • Redukcja niepodobnych wyrazów. 3x2+2x3x^2+2x nie upraszcza się do 5x35x^3 — inna potęga to inny typ wyrazu.
  • Minus przed nawiasem. −(x−3)=−x+3-(x-3)=-x+3 — minus zmienia znak każdego składnika. (3x−2)−(x+5)=3x−2−x−5(3x-2)-(x+5)=3x-2-x-5.
  • Mnożenie tylko pierwszych składników. (x+3)(x−5)(x+3)(x-5) wymaga czterech mnożeń („każdy przez każdy").
  • Dodawanie wykładników przy dodawaniu. x2+x2=2x2x2+x2=2x^2, a nie x4x4 — wykładniki dodajemy przy mnożeniu potęg (x2⋅x3=x5x2\cdot x3=x5).
  • Mylenie współczynnika z potęgą. W 7x27x^2 współczynnik to 77, a potęga to 22.

Jak to wygląda na maturze?

Wielomiany rzadko są celem samym w sobie — zwykle to pierwszy krok większego zadania (równanie, funkcja, dowód). Typowy schemat: wymnóż nawiasy → zredukuj wyrazy podobne → przenieś wszystko na jedną stronę → rozwiąż albo odczytaj współczynniki.

Wskazówka maturalna: najpierw zdejmij nawiasy, dopiero potem redukuj wyrazy podobne. Punkt traci się za jeden znak — przy wielomianach pisz więcej kroków, nie licz wszystkiego w głowie.

Kluczowe pojęcia

Jednomian

Pojedynczy wyraz algebraiczny, np. 4x² albo −3ab.

Wielomian

Suma jednomianów, np. x²−5x+6.

Wyrazy podobne

Wyrazy z taką samą częścią literową i takimi samymi potęgami.

Redukcja wyrazów podobnych

Dodawanie lub odejmowanie współczynników przy takich samych literach i potęgach.

Stopień wielomianu

Najwyższa potęga zmiennej, która występuje w wielomianie po uporządkowaniu.

Współczynnik

Liczba stojąca przy wyrazie, np. w 7x² współczynnikiem jest 7.

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →