NexTutor
Dział MAT.1.4›Monotoniczność, miejsca zerowe i parzystość funkcji

Monotoniczność, miejsca zerowe i parzystość funkcji

Klasa 1Podstawa + PRCzy wykres idzie w górę?

Własności funkcji to sposób szybkiego opisania jej zachowania: gdzie rośnie, gdzie maleje, gdzie przecina oś OX i czy ma symetrię. W zadaniach najczęściej trzeba to odczytać z wykresu albo rozpoznać z prostego wzoru.

⏱ ~30 min
Monotoniczność, miejsca zerowe i parzystość funkcji

Po co Ci ten temat?

Gdy dostajesz wykres funkcji, często nie musisz znać jej wzoru — wystarczy umieć opisać, co się z funkcją dzieje: czy rośnie, czy maleje, gdzie ma miejsce zerowe i czy jest parzysta. To umiejętności bardzo maturalne: w arkuszu dostajesz sam wykres i kilka odpowiedzi do wyboru, a punkty zdobywa ten, kto czyta wykres spokojnie.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Miejsce zerowe to argument xx, dla którego f(x)=0f(x)=0 (na wykresie: przecięcie z osią OXOX). To argument, a nie punkt (x,0)(x,0).

Monotoniczność mówi, co dzieje się z wartościami, gdy xx idzie w prawo:

rosnąca: x1<x2⇒f(x1)<f(x2),malejąca: x1<x2⇒f(x1)>f(x2)\text{rosnąca: } x1<x2 \Rightarrow f(x1)<f(x2),\qquad \text{malejąca: } x1<x2 \Rightarrow f(x1)>f(x2)
WłasnośćZ wykresu
rośnieidąc w prawo, wykres w górę
malejeidąc w prawo, wykres w dół
staławykres poziomy

Przedziały monotoniczności zapisujemy po argumentach xx, nie po wartościach yy.

Parzystość i nieparzystość (warunek konieczny: dziedzina symetryczna względem zera):

parzysta: f(−x)=f(x),nieparzysta: f(−x)=−f(x)\text{parzysta: } f(-x)=f(x),\qquad \text{nieparzysta: } f(-x)=-f(x)

Parzysta czy nieparzysta?

warunek: dziedzina symetryczna względem zera

parzysta
nieparzysta
f(−x) = f(x)
1
f(−x) = −f(x)
symetria względem osi OY
2
symetria względem początku układu

Najpierw sprawdź, czy dziedzina jest symetryczna względem 0. Bez tego nie orzekamy parzystości.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

  1. Ustal dziedzinę — zakres xx pokazany na wykresie.
  2. Miejsca zerowe czytaj z przecięć z osią OXOX.
  3. Przedziały monotoniczności czytaj od lewej do prawej: w górę → rośnie, w dół → maleje.
  4. Parzystość: sprawdź symetrię względem osi OYOY (warunek f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)).
  5. Nieparzystość: sprawdź symetrię względem punktu (0,0)(0,0) (warunek f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)).
Wizualizacja· Monotoniczność, miejsce zerowe i symetria wykresu
Wykres funkcji z przedziałami rośnięcia i malenia, miejscem zerowym na osi OX oraz mini-panelem funkcji parzystej i nieparzystej
Z wykresu odczytasz przedziały monotoniczności i miejsce zerowe. Mini-panel: f(−x)=f(x) to symetria względem OY (parzysta), f(−x)=−f(x) to symetria względem początku układu (nieparzysta).

Co zauważyć: Monotoniczność opisujemy po argumentach x. Miejsce zerowe to argument x, dla którego f(x)=0, a nie punkt na wykresie.

Przykład

Przykład rozwiązany

Funkcja ma miejsca zerowe x=−2x=-2 oraz x=4x=4 — to znaczy f(−2)=0f(-2)=0 i f(4)=0f(4)=0, a na wykresie przecina oś OXOX w punktach (−2,0)(-2,0) i (4,0)(4,0). Jeśli od x=−5x=-5 do x=1x=1 wykres idzie w górę, funkcja rośnie w (−5,1)(-5,1); jeśli potem do x=6x=6 idzie w dół, maleje w (1,6)(1,6).

Mini-zadanie: wykres przecina oś OXOX w punkcie (3,0)(3,0) — jakie jest miejsce zerowe? Odpowiedź: x=3x=3.

Przykład 2 (parzystość ze wzoru). Gdy masz wzór, podstawiasz −x-x i porównujesz z f(x)f(x):

  • f(x)=x2+1f(x)=x2+1: f(−x)=(−x)2+1=x2+1=f(x)f(-x)=(-x)^2+1=x2+1=f(x) → parzysta;
  • f(x)=x3−xf(x)=x3-x: f(−x)=(−x)3−(−x)=−x3+x=−(x3−x)=−f(x)f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x) → nieparzysta;
  • f(x)=x2+xf(x)=x2+x: f(−x)=x2−xf(-x)=x2-x — to ani f(x)f(x), ani −f(x)-f(x), więc ani parzysta, ani nieparzysta.

Uwaga na dziedzinę: nawet f(x)=x2f(x)=x2, ale z dziedziną Df=[0,∞)Df=[0,\infty), nie jest parzysta — dla x=2x=2 liczba −2-2 nie należy do dziedziny (dziedzina niesymetryczna względem 00).

Rozszerzenie PR — FUN.10: dowodzenie monotoniczności ze wzoru

Na poziomie podstawowym monotoniczność tylko odczytujemy z wykresu. Na rozszerzeniu trzeba ją udowodnić ze wzoru.

Infografika

FUN.10 — dowód monotoniczności ze wzoru

rozszerzenie: nie odczyt, lecz dowód

1

Weź dowolne x₁ < x₂

z dziedziny funkcji

2

Policz f(x₁) − f(x₂)

wstaw wzór i uprość

3

Oceń znak różnicy

<0 → rosnąca; >0 → malejąca

4

Zapisz wniosek

np. f(x₁)<f(x₂) ⇒ funkcja rosnąca

Pamiętaj: Startujesz od x₁<x₂ z dziedziny. Można też badać f(x₂)−f(x₁): dla rosnącej wynik dodatni.

Przykład. Udowodnij, że f(x)=2x+3f(x)=2x+3 jest rosnąca w R\mathbb{R}. Niech x1<x2x1<x2:

f(x1)−f(x2)=(2x1+3)−(2x2+3)=2(x1−x2)f(x1)-f(x2)=(2x_1+3)-(2x_2+3)=2(x1-x2)

Ponieważ x1−x2<0x1-x2<0, to f(x1)−f(x2)<0f(x1)-f(x2)<0, czyli f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2). Wniosek: funkcja jest rosnąca.

Sprawdź się — mini-check (PP + PR)
  • PP: wykres przecina OX w (5,0) — podaj miejsce zerowe.
  • PP: przedziały monotoniczności zapisujesz po x czy po y?
  • PP: f(x)>0 — czy to znaczy, że funkcja rośnie?
  • PR (FUN.10): udowodnij, że f(x)=3x−1 jest rosnąca.
  • PR: jaki warunek musi spełniać dziedzina, by badać parzystość?
  • Ze wzoru: czy f(x)=x²+x jest parzysta, nieparzysta, czy żadna?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

  • Miejsce zerowe jako punkt (3,0)(3,0). Miejsce zerowe to argument x=3x=3 (dla którego f(x)=0f(x)=0).
  • Monotoniczność po wartościach yy. Przedziały monotoniczności zapisujemy po argumentach xx.
  • Mylenie funkcji dodatniej z rosnącą. f(x)>0f(x)>0 to położenie nad osią OXOX, a nie wzrost — funkcja może rosnąć poniżej osi.
  • Parzystość „na oko". Sprawdź warunek f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) i symetrię względem osi OYOY.
  • Brak symetrii dziedziny. Bez dziedziny symetrycznej względem 00 parzystość/nieparzystość nie ma sensu.
  • FUN.10 bez założenia x1<x2x1<x2. Dowód zaczynamy od dowolnych x1,x2x1,x2 z dziedziny i założenia x1<x2x1<x2.

Jak to wygląda na maturze?

Najczęściej dostajesz wykres i pytania: podaj miejsce zerowe, określ przedziały rosnące, odczytaj, dla jakich xx funkcja przyjmuje wartości dodatnie, wskaż, czy funkcja jest parzysta.

Wskazówka maturalna: jeśli pytają „dla jakich argumentów" — odpowiadasz przedziałami xx; jeśli „jakie wartości" — przedziałami yy. Miejsce zerowe podajesz jako xx, nie jako punkt.

Kluczowe pojęcia

Monotoniczność

Informacja, czy funkcja rośnie, maleje albo jest stała na danym przedziale

Funkcja rosnąca

Gdy idziemy w prawo po osi x, wartości funkcji idą w górę

Funkcja malejąca

Gdy idziemy w prawo po osi x, wartości funkcji idą w dół

Miejsce zerowe

Argument x, dla którego f(x)=0

Funkcja parzysta

Funkcja symetryczna względem osi OY; spełnia f(-x)=f(x)

Funkcja nieparzysta

Funkcja symetryczna względem początku układu; spełnia f(-x)=-f(x)

Materiały ZPE

3 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:11%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →