Funkcja liniowa — wykres, własności i zastosowania

Funkcja liniowa to pierwszy typ funkcji, który naprawdę dużo robi w zadaniach. Opisuje stałe tempo zmiany: koszt za kilometr, pensję za godziny, cenę po rabacie, prostą na wykresie. Jeśli dobrze rozumiesz $f(x)=ax+b$, łatwiej wejdziesz potem w funkcję kwadratową, geometrię analityczną i zadania tekstowe.

Funkcja liniowa ma wzór:

Współczynnik kierunkowy $a$ to nachylenie prostej i decyduje o monotoniczności:

Wyraz wolny $b$ to punkt startowy na osi $OY$: $f(0)=b$, więc wykres przechodzi przez $(0,b)$. To nie jest miejsce zerowe.

Miejsce zerowe (tylko dla $a\neq 0$) liczymy z równania:

Dla $a=0$ nie da się dzielić przez $a$, więc miejsca zerowe rozpatrujemy osobno: $a=0,\ b\neq 0$ → brak miejsc zerowych (pozioma prosta $y=b$ nie tnie osi $OX$); $a=0,\ b=0$ → każdy $x$ jest miejscem zerowym (to prosta $y=0$, czyli oś $OX$).

$a$ mówi o nachyleniu prostej, $b$ mówi, gdzie prosta przecina oś $OY$.

1. Zapisz wzór w postaci $f(x)=ax+b$ i odczytaj $a$ oraz $b$.
2. Z $b$ zaznacz punkt $(0,b)$ na osi $OY$.
3. Z $a$ ustal nachylenie (np. $a=2$: $1$ w prawo, $2$ w górę).
4. Połącz punkty prostą.
5. Miejsce zerowe znajdź z $ax+b=0$, czyli $x$₀=-\tfrac{b}{a} (gdy $a\neq 0$).
6. W zadaniach tekstowych nazwij, co jest $x$, co $f(x)$, co oznacza $a$ i co $b$.

Wizualizacja· Funkcja liniowa — nachylenie, punkt przecięcia i miejsce zerowe

Co zauważyć: a decyduje o kierunku prostej i monotoniczności, b o przecięciu z osią OY, a miejsce zerowe x₀=−b/a (gdy a≠0).

Funkcja liniowa pojawia się w krótkich zadaniach: odczyt współczynników, miejsce zerowe, równoległość prostych, interpretacja zadania tekstowego. Przykład: cena przejazdu taksówką to $8$ zł opłaty startowej i $3$ zł za km, więc koszt to $f(x)=3x+8$ — tu $x$ to liczba kilometrów, $3$ to koszt za km, $8$ to opłata startowa.

Wskazówka maturalna: najpierw odczytaj $a$ i $b$, dopiero potem licz miejsce zerowe. W zadaniach z kontekstem zawsze nazwij zmienne — to ratuje przed pomyleniem $a$ i $b$.