Równanie prostej — wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie — Matematyka klasa 1

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.4›Równanie prostej — wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie

Po co Ci ten temat?

Równanie prostej łączy funkcję liniową z geometrią. Zamiast tylko rysować prostą, opisujesz ją wzorem i sprawdzasz, czy przechodzi przez punkt, gdzie przecina inną prostą albo czy jest do niej równoległa. To fundament geometrii analitycznej i zadań w układzie współrzędnych.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Najwygodniejsza postać prostej to $y=ax+b$ ( $a$ — nachylenie, $b$ — przecięcie z osią $OY$ ). Dla dwóch prostych $l$ oraz $l$ mamy cztery relacje:

Relacja	Warunek
Równoległe	$a$ i $b$
Pokrywające się (ta sama prosta)	$a$ i $b$
Prostopadłe	$a$
Przecinające się	$a$

l

Wyjątek — prosta pionowa. Prosta $x=c$ nie ma postaci $y=ax+b$ (brak współczynnika kierunkowego). Jest prostopadła do każdej prostej poziomej $y=k$ — to rozumiemy geometrycznie, a nie ze wzoru $a_1a_2=-1$ .

Infografika

Jak rozpoznać położenie dwóch prostych?

najpierw porównaj nachylenia a₁, a₂

1

Porównaj a₁ i a₂

różne nachylenia → proste przecinają się

2

a₁ = a₂? sprawdź b

b różne → równoległe; b równe → ta sama prosta

3

a₁ · a₂ = −1?

to proste prostopadłe (liczba przeciwna i odwrotna)

4

Prosta pionowa x=c?

brak postaci y=ax+b — rozumuj geometrycznie

Pamiętaj: Najpierw sprowadź do y=ax+b i odczytaj a, potem patrz na b. Do prostopadłości a₂ to liczba przeciwna I odwrotna do a₁ (do 2 jest −½, nie −2).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Sprowadź równania do postaci $y=ax+b$ (jeśli się da).
Odczytaj współczynniki kierunkowe $a$ , $a$ .
Równoległość: porównaj $a$ (i sprawdź $b$ , by odróżnić od pokrywających się).
Prostopadłość: sprawdź, czy $a$ .
Punkt przecięcia: rozwiąż układ równań obu prostych.
Uważaj na proste pionowe $x=c$ — nie mają współczynnika kierunkowego.

Cztery układy współrzędnych — proste równoległe (a₁=a₂, b₁≠b₂), ta sama prosta (a₁=a₂, b₁=b₂), prostopadłe (a₁·a₂=−1) i przecinające się (a₁≠a₂) — Położenie prostych y=a₁x+b₁ i y=a₂x+b₂: najpierw porównaj nachylenia a, potem wyrazy wolne b. Równoległe: a₁=a₂, b₁≠b₂; ta sama prosta: a₁=a₂, b₁=b₂; prostopadłe: a₁·a₂=−1; przecinające się: a₁≠a₂.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (równoległe). Czy $y=2x+1$ oraz $y=2x-5$ są równoległe? $a$ , a $b$ , więc tak — równoległe.

Przykład 2 (prostopadłe). $y=3x+4$ i $y=-\tfrac{1}{3}x+2$ : $3\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)=-1$ , więc prostopadłe.

Przykład 3 (prosta równoległa przez punkt). Wyznacz prostą równoległą do $y=2x-3$ przechodzącą przez $P=(1,5)$ . Bierzemy $a=2$ i wstawiamy punkt:

5=2\cdot 1+b \;\Rightarrow\; b=3,\qquad y=2x+3

Przykład 4 (pionowa). Prosta pozioma $y=2$ jest prostopadła do pionowej $x=3$ — nie da się tego zapisać przez $a_1a_2=-1$ , ale geometrycznie to jasne.

Przykład 5 (prostopadła przez punkt). Wyznacz prostą prostopadłą do $y=2x-3$ przechodzącą przez $P=(1,5)$ . Nachylenie prostopadłej to liczba przeciwna i odwrotna: $a=-\tfrac{1}{2}$ . Wstawiamy punkt: $5=-\tfrac{1}{2}\cdot 1+b \Rightarrow b=\tfrac{11}{2}$ , więc $y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{11}{2}$ . (Porównaj z Przykładem 3: równoległa przez ten sam punkt to $y=2x+3$ .)

Przykład 6 (najpierw sprowadź do $y=ax+b$ ). Czy $2y=4x+6$ i $y=2x+3$ to ta sama prosta? Dzielimy pierwsze równanie przez $2$ : $2y=4x+6 \Rightarrow y=2x+3$ . Po sprowadzeniu obie mają $a=2$ i $b=3$ — to ta sama prosta (pokrywają się). Zawsze najpierw doprowadź równanie do postaci kierunkowej, dopiero potem porównuj $a$ i $b$ .

Mini-zadanie: czy $y=-2x+7$ i $y=\tfrac{1}{2}x-1$ są prostopadłe? Tak, bo $-2\cdot\tfrac{1}{2}=-1$ .

Sprawdź się — mini-check (sklasyfikuj pary)

y=2x+1 i y=2x−5 — jaka relacja?
y=3x+4 i y=−⅓x+2 — jaka relacja?
y=2x+1 i y=2x+1 — jaka relacja?
y=x i y=−x+3 — czy prostopadłe?
Wyznacz prostą równoległą do y=2x−3 przez P=(1,5).
Prostopadła przez punkt: wyznacz prostą prostopadłą do y=2x−3 przez P=(1,5).
Sprowadź: czy 2y=4x+6 i y=2x+3 to ta sama prosta?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

Porównywanie $b$ zamiast $a$ . Równoległość i prostopadłość zależą od nachylenia $a$ , nie od $b$ .
„ $a$ to ta sama prosta". Trzeba sprawdzić $b$ : te same $a$ i różne $b$ dają proste równoległe.
Prostopadłość przez samą zmianę znaku. $a$ to liczba przeciwna i odwrotna: do $2$ jest $-\tfrac{1}{2}$ , a nie $-2$ .
$a_1a_2=-1$ dla prostej pionowej. Prosta $x=c$ nie ma postaci $y=ax+b$ — tu rozumujemy geometrycznie.
Brak sprowadzenia do $y=ax+b$ . Najpierw uporządkuj równanie, inaczej źle odczytasz $a$ .
Mylenie „przecinają się" z „prostopadłe". Prostopadłe to szczególny przypadek przecięcia — każde prostopadłe się przecinają, ale nie odwrotnie.

Jak to wygląda na maturze?

Typowe zadania: wyznacz równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez punkt, sprawdź prostopadłość, znajdź punkt przecięcia prostych, sprawdź, czy punkt należy do prostej. Schemat dla prostej równoległej: weź to samo $a$ → wstaw punkt do $y=ax+b$ → oblicz $b$ → zapisz równanie.

Wskazówka maturalna: najpierw odczytaj $a$ (sprowadź do $y=ax+b$ ), dopiero potem patrz na $b$ . I pamiętaj o wyjątku prostej pionowej $x=c$ .

Kluczowe pojęcia

Równanie kierunkowe prostej

Postać y=ax+b, w której łatwo odczytać nachylenie i przecięcie z osią OY

Współczynnik kierunkowy prostej

Liczba a opisująca nachylenie prostej

Proste równoległe

Różne proste o takim samym współczynniku kierunkowym

Proste prostopadłe

Proste, których współczynniki kierunkowe spełniają a₁·a₂=-1

Punkt przecięcia prostych

Punkt, który spełnia równania obu prostych jednocześnie

Prosta pionowa

Prosta w postaci x=c, której nie zapisujemy jako funkcji y=ax+b

Materiały ZPE

3 materiały

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Równanie prostej i wzajemne położenie prostych

Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%

1Po co Ci ten temat?
2Najważniejsza idea w prostych słowach
3Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
4Przykład rozwiązany
5Typowe pułapki i błędy
6Jak to wygląda na maturze?
Kluczowe pojęcia
Materiały ZPE

← Poprzednia lekcja Następna lekcja →