Złożenie funkcji — definicja i wyznaczanie — Matematyka klasa 1

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.4›Złożenie funkcji — definicja i wyznaczanie

Po co Ci ten temat?

Złożenie funkcji to operacja, w której jedną funkcję „wkładasz" do drugiej. Pojawia się wszędzie tam, gdzie wynik jednego procesu jest wejściem do następnego.

Na rozszerzeniu złożenie wraca przy pochodnej funkcji złożonej (reguła łańcuchowa, dział 4.1), więc warto je dobrze zrozumieć już teraz. Na maturze trzeba umieć wyznaczyć wzór złożenia, ale przede wszystkim jego dziedzinę — i to tu uczniowie tracą najwięcej punktów.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Definicja. Złożeniem funkcji $f$ i $g$ nazywamy funkcję $f \circ g$ daną wzorem

(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)

Zapis czytamy od prawej do lewej: najpierw działa $g$ (funkcja wewnętrzna), a jej wynik wkładamy do $f$ (funkcja zewnętrzna). Przykładowo dla $f(t)=t$ i $g(x)=x+3$ mamy $(f \circ g)(x)=f(x+3)=(x+3)^2$ .

Kolejność ma znaczenie — złożenie nie jest przemienne: na ogół $f \circ g \neq g \circ f$ .

Warunek dziedziny. To najważniejszy punkt na rozszerzeniu — dziedzina ma warunek podwójny:

D_{f \circ g} = \{\, x \in D

czyli $x$ musi należeć do dziedziny $g$ oraz $g(x)$ musi należeć do dziedziny $f$ . Nie wystarczy policzyć $f(g(x))$ mechanicznie — dziedzina to część odpowiedzi, a nie dodatek.

Schemat pojęć

Złożenie jako przepływ: od x do f(g(x))

w f∘g pierwsza działa funkcja po prawej

x

argument wejściowy

↓

g(x)

funkcja wewnętrzna

↓

g(x) ∈ D(f)

warunek dziedziny

↓

f(g(x))

wynik złożenia

Zapamiętaj: Dziedzina złożenia to część wspólna warunków: x ∈ D(g) ORAZ g(x) ∈ D(f).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Infografika

Jak policzyć złożenie f∘g

g działa pierwsze, potem f

1

Rozpoznaj warstwy

która funkcja jest zewnętrzna (f) • a która wewnętrzna (g)

2

Podstaw i uprość

g(x) wstaw w miejsce argumentu f → f(g(x)) • potem uprość

3

Dziedzina — warunek podwójny

x ∈ D(g) ORAZ g(x) ∈ D(f); bierzesz część wspólną

4

Zapisz odpowiedź

wzór f(g(x)) RAZEM z dziedziną

5

Rozkład (odwrotnie)

zobacz „co jest w środku" (g) i „co działa na zewnątrz" (f)

Pamiętaj: Najczęstszy błąd to policzyć f(g(x)) i zapomnieć o dziedzinie — pamiętaj o obu warunkach.

Diagram złożenia funkcji — x→g(x)→f(g(x)) i osobno x→f(x)→g(f(x)) dla f(x)=√x, g(x)=x−4, z dziedzinami — Złożenie to przepuszczenie wyniku jednej funkcji przez drugą. Dla f(x)=√x, g(x)=x−4: (f∘g)(x)=√(x−4), x≥4, a (g∘f)(x)=√x−4, x≥0.

Przykład

Przykład rozwiązany

Zadanie. Dane są funkcje $f(x)=\sqrt{x}$ oraz $g(x)=x-4$ . Wyznacz $(f \circ g)(x)$ i $(g \circ f)(x)$ wraz z dziedzinami.

Krok 1 — wzór $f \circ g$ .

(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = f(x-4) = \sqrt{x-4}

Dziedzina: musi być $g(x) \in D$ , a $D$ , więc $x-4 \ge 0$ , czyli $x \ge 4$ . Stąd $D_{f \circ g}=\langle 4,+\infty)$ .

Krok 2 — wzór $g \circ f$ .

(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} - 4

Teraz funkcją wewnętrzną jest $f$ , więc najpierw $x \in D$ . Warunek $f(x) \in D$ jest spełniony zawsze, bo $D$ . Stąd $D_{g \circ f}=\langle 0,+\infty)$ .

Ten sam zestaw funkcji dał inny wzór i inną dziedzinę — wszystko zależy od kolejności składania.

f∘g i g∘f — ta sama para funkcji, inny wynik

te same funkcje f(x)=√x, g(x)=x−4

f∘g

g∘f

wzór: √(x−4)

1

wzór: √x − 4

dziedzina: ⟨4,+∞)

2

dziedzina: ⟨0,+∞)

najpierw odejmij 4, potem pierwiastek

3

najpierw pierwiastek, potem odejmij 4

Wniosek maturalny: f∘g ≠ g∘f — inny wzór ORAZ inna dziedzina. Kolejność składania jest istotna.

Możesz to potwierdzić na liczbie: dla $f(x)=x$ , $g(x)=x+1$ mamy $(f \circ g)(2)=f(3)=9$ , ale $(g \circ f)(2)=g(4)=5$ . Skoro $9 \neq 5$ , to naprawdę różne funkcje.

Mini-zadanie (rozkład). Rozłóż $h(x)=\sqrt{x$ na złożenie. Odpowiedź: $f(t)=\sqrt{t}$ oraz $g(x)=x$ , bo $f(g(x))=\sqrt{x$ . Litera $t$ to tylko zmienna pomocnicza — argument funkcji zewnętrznej.

Mini-check (inny typ dziedziny). Dla $f(x)=\tfrac{1}{x}$ , $g(x)=x-2$ mamy $(f \circ g)(x)=\tfrac{1}{x-2}$ , więc mianownik nie może być zerem: $x \neq 2$ . Tu ograniczenie bierze się z ułamka, a nie z pierwiastka — warunek $g(x)\in D$ zależy od tego, czym jest funkcja zewnętrzna.

Przykład 2 (dwa warunki naraz). Dla $f(x)=\sqrt{x}$ i $g(x)=\tfrac{1}{x-2}$ mamy $(f \circ g)(x)=\sqrt{\tfrac{1}{x-2}}$ . Teraz działają oba warunki: (1) $x\in D$ , czyli $x\neq 2$ ; (2) $g(x)\in D$ , czyli $\tfrac{1}{x-2}\ge 0$ . Ponieważ licznik $1>0$ , ułamek jest nieujemny tylko dla $x-2>0$ , czyli $x>2$ — i to warunek ostrzejszy (pochłania $x\neq 2$ ). Stąd $D_{f \circ g}=(2,+\infty)$ . Widać, że warunek zewnętrzny bywa trudniejszy niż samo podstawienie wzoru.

Sprawdź się — mini-check PR

Rozpoznaj funkcję wewnętrzną i zewnętrzną w h(x)=(2x+1)³.
Wyznacz (f∘g)(x) i jej dziedzinę dla f(x)=√x oraz g(x)=3−x.
Sprawdź na liczbie, czy f∘g = g∘f dla f(x)=2x oraz g(x)=x+1.
Dwa warunki: wyznacz dziedzinę (f∘g) dla f(x)=√x, g(x)=1/(x−2).

Typowe pułapki i błędy

Pierwsza pułapka: policzenie wzoru $f(g(x))$ i pominięcie dziedziny. Trzeba sprawdzić, czy $x \in D$ oraz $g(x) \in D$ .

Druga: mylenie $f \circ g$ z $g \circ f$ — to zwykle dwie różne funkcje (sprawdź na konkretnej liczbie, jeśli masz wątpliwość).

Trzecia: mylenie składania z mnożeniem. $(f \circ g)(x)=f(g(x))$ , a nie $f(x)\cdot g(x)$ .

Czwarta: sprawdzenie tylko warunku $x \in D$ i pominięcie, że $g(x) \in D$ — często to właśnie ten drugi warunek jest ostrzejszy.

Jak to wygląda na maturze?

Na rozszerzeniu złożenie pojawia się w dwóch rolach: (1) wyznaczenie wzoru i dziedziny $f(g(x))$ , (2) rozpoznanie, że dana funkcja jest złożeniem — wstęp do pochodnej funkcji złożonej (reguła łańcuchowa, dział 4.1). Schemat działania: rozpoznaj warstwy → podstaw → wyznacz dziedzinę z podwójnym warunkiem. Najczęściej oceniana jest właśnie dziedzina, nie sam wzór — wzór bez dziedziny to zwykle odpowiedź niepełna.

Kluczowe pojęcia

Złożenie funkcji (f∘g)

Funkcja dana wzorem (f∘g)(x)=f(g(x)); najpierw działa g (wewnętrzna), potem f (zewnętrzna).

Dziedzina złożenia

Warunek podwójny: x musi należeć do dziedziny g ORAZ g(x) musi należeć do dziedziny f.

Nieprzemienność składania

Na ogół f∘g ≠ g∘f — kolejność składania zmienia wynik.

Rozkład na złożenie

Operacja odwrotna: rozpoznanie funkcji zewnętrznej f i wewnętrznej g, dla których f(g(x)) daje zadaną funkcję.

Funkcja zewnętrzna i wewnętrzna

W f(g(x)) funkcja g jest wewnętrzna (działa pierwsza), f jest zewnętrzna (działa na wyniku g).

Materiały ZPE

3 materiały

Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PRCKE Informator maturalny: matematyka PRCKE arkusze maturalne — matematyka PRZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%

1Po co Ci ten temat?
2Najważniejsza idea w prostych słowach
3Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
4Przykład rozwiązany
5Typowe pułapki i błędy
6Jak to wygląda na maturze?
Kluczowe pojęcia
Materiały ZPE

← Poprzednia lekcja