Wielokąty foremne — własności i konstrukcje — Matematyka klasa 1

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.5›Wielokąty foremne — własności i konstrukcje

Po co Ci ten temat?

Wielokąty foremne wyglądają estetycznie, ale na sprawdzianie są przede wszystkim źródłem trójkątów: kwadrat, sześciokąt foremny czy trójkąt równoboczny często rozbijasz na prostsze figury. Temat przygotowuje też do geometrii z okręgiem, bo wielokąty foremne bywają wpisane w okrąg albo opisane na okręgu.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Wielokąt foremny ma dwie cechy naraz:

\text{foremny} \Longleftrightarrow \text{wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe}

Sama równość boków nie wystarczy (np. romb), sama równość kątów też nie — muszą być oba warunki.

Wielokąt ma $n\ge 3$ boków (i $n\in\mathbb{N}$ ) — liczba boków musi być całkowita i co najmniej $3$ .

Suma kątów wewnętrznych $n$ -kąta oraz jeden kąt wewnętrzny (w foremnym):

(n-2)\cdot 180^\circ,\qquad \alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

Kąt środkowy (po połączeniu środka z wierzchołkami):

\beta=\frac{360^\circ}{n}

Kąt	Wzór	Gdzie leży
Wewnętrzny $\alpha$	$\tfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$	przy wierzchołku
Środkowy $\beta$	$\tfrac{360^\circ}{n}$	przy środku okręgu

Sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych — po połączeniu środka z wierzchołkami.

Infografika

Wielokąt foremny — kąty i podział

najpierw ustal liczbę boków n

1

Foremny? sprawdź oba warunki

wszystkie boki równe ORAZ wszystkie kąty równe

2

Suma kątów wewnętrznych

(n−2)·180°

3

Jeden kąt: wewnętrzny czy środkowy?

wewnętrzny α=(n−2)·180°/n; środkowy β=360°/n

4

Podział na trójkąty

połącz środek z wierzchołkami; sześciokąt → 6 trójkątów równobocznych

Pamiętaj: Wzór (n−2)·180° to SUMA kątów, a nie jeden kąt. Po policzeniu sumy podziel przez n.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Ustal liczbę boków $n$ .
Pytają o kąty? Użyj sumy $(n-2)\cdot 180^\circ$ , jednego kąta $\alpha$ albo środkowego $\beta=\tfrac{360^\circ}{n}$ .
Pytają o pole? Podziel wielokąt na trójkąty.
Jest okrąg? Zaznacz środek i połącz z wierzchołkami; szukaj trójkątów równoramiennych, równobocznych lub prostokątnych.
Użyj znanych wzorów (Pitagoras, pola trójkąta/kwadratu/trapezu).

Sześciokąt foremny ze środkiem, promieniami do wierzchołków, podziałem na 6 trójkątów, kątem środkowym 60° i wewnętrznym 120° oraz apotemą — Sześciokąt foremny: kąt środkowy 360°/6=60°, kąt wewnętrzny (6−2)·180°/6=120°. Podział na trójkąty równoramienne pokazuje, skąd biorą się wzory.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (sześciokąt). Dla $n=6$ suma kątów to $(6-2)\cdot 180^\circ=720^\circ$ , a jeden kąt:

\alpha=\frac{720^\circ}{6}=120^\circ

Przykład 2 (odwrotny — z kąta liczba boków). Jeśli jeden kąt wewnętrzny ma $135^\circ$ :

\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=135^\circ \;\Rightarrow\; 180n-360=135n \;\Rightarrow\; 45n=360 \;\Rightarrow\; n=8

To ośmiokąt foremny. Jego kąt środkowy: $\beta=\tfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$ .

Mini-zadanie: jeden kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego to $\tfrac{(5-2)\cdot 180^\circ}{5}=108^\circ$ .

Przykład 3 (odwrotny — z kąta środkowego). Kąt środkowy wielokąta foremnego wynosi $30^\circ$ . Ile ma boków? Z $\tfrac{360^\circ}{n}=30^\circ$ dostajemy $n=\tfrac{360^\circ}{30^\circ}=12$ — to dwunastokąt foremny (sprawdzenie: $n=12$ całkowite i $\ge 3$ ✓).

Most do pól (apotema). Wielokąt foremny ma pole $P=\tfrac{1}{2}\,O\,r$ , gdzie $O$ to obwód, a $r$ — apotema (promień okręgu wpisanego, czyli odległość środka od boku). Wzór wynika z podziału na $n$ przystających trójkątów o podstawie równej bokowi i wysokości $r$ .

Sprawdź się — mini-check

Pięciokąt foremny: jeden kąt wewnętrzny?
Sześciokąt foremny: jeden kąt wewnętrzny?
Ośmiokąt foremny: kąt środkowy?
Z kąta wewnętrznego 135° — ile boków ma wielokąt?
Czy każdy wielokąt o równych bokach jest foremny?
Odwrotny (środkowy): kąt środkowy 30° — ile boków ma wielokąt foremny?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

$(n-2)\cdot 180^\circ$ , nie $(n-2)-180^\circ$ . To mnożenie, a nie odejmowanie.
Mylenie sumy z jednym kątem. Suma to $(n-2)\cdot 180^\circ$ ; jeden kąt to suma podzielona przez $n$ .
Kąt wewnętrzny vs środkowy. Wewnętrzny $\alpha$ jest przy wierzchołku, środkowy $\beta=\tfrac{360^\circ}{n}$ przy środku okręgu.
„Równe boki wystarczą". Foremny wymaga równych boków i równych kątów — romb nie jest foremny.
Środkowy liczony wzorem na wewnętrzny. Kąt środkowy to $\beta=\tfrac{360^\circ}{n}$ — kąty środkowe dzielą pełny obrót.
Niezauważenie 6 trójkątów. W sześciokącie foremnym połączenie środka z wierzchołkami daje 6 trójkątów równobocznych.

Jak to wygląda na maturze?

Wielokąt foremny zwykle jest częścią większego zadania: pole, obwód, okrąg wpisany/opisany, kąty albo przekątne. Schemat: rozpoznaj wielokąt i $n$ → zaznacz środek → podziel na trójkąty → policz $\beta=\tfrac{360^\circ}{n}$ lub kąt wewnętrzny → sprowadź zadanie do trójkąta, który umiesz rozwiązać.

Wskazówka maturalna: jeśli pytają o jeden kąt, po policzeniu sumy podziel przez $n$ . A widząc sześciokąt foremny, od razu pomyśl o 6 trójkątach równobocznych.

Kluczowe pojęcia

Wielokąt foremny

Wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne równe

n-kąt

Wielokąt o n bokach, np. 5-kąt, 6-kąt, 8-kąt

Suma kątów wewnętrznych

Dla n-kąta wynosi (n−2)·180°

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego

Jeden z równych kątów w wielokącie foremnym; ma miarę ((n−2)·180°)/n

Kąt środkowy

Kąt między promieniami poprowadzonymi ze środka do sąsiednich wierzchołków; w n-kącie foremnym ma 360°/n

Apotema

Odcinek ze środka wielokąta foremnego prostopadły do jego boku

Materiały ZPE

4 materiały

Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%

1Po co Ci ten temat?
2Najważniejsza idea w prostych słowach
3Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
4Przykład rozwiązany
5Typowe pułapki i błędy
6Jak to wygląda na maturze?
Kluczowe pojęcia
Materiały ZPE

← Poprzednia lekcja