Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.2.1›Wykres funkcji kwadratowej — parabola i jej własności

Wykres funkcji kwadratowej — parabola i jej własności

Klasa 2PodstawaParabola i własności funkcji

Funkcja kwadratowa ma wykres w kształcie paraboli, a znak współczynnika a mówi, czy ramiona idą w górę czy w dół. W zadaniach najczęściej trzeba szybko odczytać z wykresu wierzchołek, miejsca zerowe, zbiór wartości i monotoniczność.

⏱ ~26 min

Wykres funkcji kwadratowej — parabola i jej własności

Po co Ci ten temat?

Funkcja kwadratowa wraca w drugiej klasie bardzo często: przy równaniach, nierównościach, zadaniach optymalizacyjnych i na maturze. Jeśli rozumiesz parabolę jako wykres, a nie tylko zbiór wzorów, łatwiej wybierzesz metodę rozwiązania. Uczniowie tracą tu punkty nie dlatego, że nie znają wzorów, tylko dlatego, że nie umieją odczytać sensu wykresu.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Funkcja kwadratowa ma postać (wykresem jest parabola):

f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0

Dziedzina funkcji kwadratowej to zawsze $D$ — każdą liczbę rzeczywistą można podnieść do kwadratu, więc parabola „istnieje" dla wszystkich $x$ .

Wierzchołek to najważniejszy punkt paraboli:

x

Oś symetrii to pionowa prosta $x=x$ .

Element	Znaczenie
$a>0$	ramiona w górę → wierzchołek to minimum
$a<0$	ramiona w dół → wierzchołek to maksimum
$c$	$f(0)=c$ , czyli przecięcie z osią $OY$ w $(0,c)$ — nie miejsce zerowe
miejsca zerowe	przecięcia z osią $OX$ ; ich liczba zależy od $\Delta$

Liczba miejsc zerowych: $\Delta>0$ → dwa, $\Delta=0$ → jedno, $\Delta<0$ → brak.

Zbiór wartości:

a>0:\ [\,y

Monotoniczność (wierzchołek dzieli parabolę na dwie części):

a>0:\ \text{maleje na }(-\infty,x

a<0:\ \text{rośnie na }(-\infty,x

a > 0 vs a < 0

znak a decyduje o kształcie paraboli

a > 0

a < 0

ramiona w górę

ramiona w dół

wierzchołek to MINIMUM

wierzchołek to MAKSIMUM

zbiór wartości [y_w, ∞)

zbiór wartości (−∞, y_w]

Najpierw policz wierzchołek (x_w=−b/2a, y_w=−Δ/4a) — daje oś symetrii, zbiór wartości i monotoniczność.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Sprawdź, czy funkcja jest kwadratowa ( $a\neq 0$ ).
Znak $a$ → kierunek ramion (góra/dół).
Przecięcie z $OY$ : zawsze $(0,c)$ .
Wierzchołek $x$ , $y$ — z niego oś symetrii, zbiór wartości i monotoniczność.
Miejsca zerowe: policz $\Delta$ albo rozłóż na czynniki.
Zbiór wartości i przedziały monotoniczności odczytaj ze znaku $a$ i wierzchołka.

Infografika

Funkcja kwadratowa — co sprawdzam po kolei?

od wzoru do szkicu wykresu

Znak a

a>0 ramiona w górę; a<0 w dół

Przecięcie z OY

f(0)=c → punkt (0 • c)

Wierzchołek i oś symetrii

x_w=−b/2a • y_w=−Δ/4a • oś x=x_w

Miejsca zerowe

policz Δ: Δ>0 dwa • Δ=0 jedno • Δ<0 brak

Zbiór wartości i monotoniczność

odczytaj ze znaku a i wierzchołka

Pamiętaj: Najpierw wierzchołek — z niego masz oś symetrii, zbiór wartości i przedziały monotoniczności.

Parabola y=x²−4x+3 w górę z miejscami zerowymi x=1 i x=3, wierzchołkiem W=(2,−1), osią symetrii x=2 i zbiorem wartości [−1,∞) — Z jednego wykresu f(x)=x²−4x+3 odczytasz: miejsca zerowe x=1 i x=3, wierzchołek W=(2,−1), oś symetrii x=2, zbiór wartości [−1,∞) i monotoniczność.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 ( a 0 ). Zbadaj f(x)=x^2-4x+3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Typowe pułapki i błędy

- „ c to miejsce zerowe". FAŁSZ — c=f(0) , to przecięcie z osią OY w (0,c) ; miejsca zerowe leżą na osi OX (mają y=0 ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Często dostajesz wykres paraboli i odczytujesz własności bez długiego liczenia: zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności albo rozwiązania nierówności f(x) 0 . Jeśli pomylisz oś OX z osią OY , całe zadanie może się rozsypać.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość