Hiperbola f(x)=k/x — wykres, asymptoty i własności

Klasa 2PodstawaHiperbola i asymptoty

Funkcja f(x)=k/x ma wykres złożony z dwóch gałęzi, a jej znaki i położenie zależą od znaku k. W zadaniach najpierw patrzysz na dziedzinę, asymptoty i ćwiartki układu, a dopiero potem liczysz konkretne wartości.

⏱ ~26 min

Hiperbola f(x)=k/x — wykres, asymptoty i własności

Po co Ci ten temat?

Hiperbola to podstawowy wykres funkcji wymiernej. Gdy rozumiesz $f(x)=\frac{k}{x}$ , łatwiej ogarniesz złożone funkcje typu $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ . To temat bardzo graficzny — w zadaniach rzadko liczysz dużo, częściej trzeba wiedzieć, gdzie są asymptoty, w których ćwiartkach leżą gałęzie i jak zmienia się funkcja.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Funkcja wymierna typu hiperbola:

f(x)=\frac{k}{x},\qquad k\neq 0

Mianownik $x$ nie może być zerem, więc dziedzina i zbiór wartości:

D

Zależność $f(x)=\frac{k}{x}$ to model odwrotnej proporcjonalności: iloczyn $x\cdot y=k$ jest stały, więc im większe $|x|$ , tym mniejsze $|y|$ (i odwrotnie).

Asymptoty: pionowa $x=0$ (oś $OY$ ) i pozioma $y=0$ (oś $OX$ ). Funkcja nie ma miejsca zerowego i nigdy nie przyjmuje wartości $0$ . Wykres składa się z dwóch oddzielnych gałęzi.

Własność	$k>0$	$k<0$
ćwiartki	I i III	II i IV
monotoniczność	maleje na $(-\infty,0)$ i $(0,\infty)$	rośnie na $(-\infty,0)$ i $(0,\infty)$

Asymptota to prosta, do której wykres się zbliża, ale jej nie przecina — sama nie jest częścią wykresu.

Wykres hiperboli f(x)=4/x z dwiema gałęziami w I i III ćwiartce oraz asymptotami x=0 i y=0 — Hiperbola f(x)=k/x dla k>0 — dwie gałęzie w I i III ćwiartce zbliżające się do asymptot x=0 i y=0.

Infografika

Hiperbola k/x — od dziedziny do gałęzi

najpierw dziedzina, potem asymptoty, potem znak k

Zapisz wzór i dziedzinę

f(x)=k/x • k≠0 • x≠0 → D=ℝ∖{0}

Zaznacz asymptoty

pionowa x=0 • pozioma y=0 (linie przerywane)

Sprawdź znak k i ćwiartki

k>0 → I i III; k<0 → II i IV

Policz punkty kontrolne

np. x=1 • 2 • −1 • −2

Narysuj dwie gałęzie

zbliżają się do osi • ale ich nie przecinają

Pamiętaj: Asymptota NIE jest częścią wykresu. Monotoniczność podajemy osobno na (−∞,0) i (0,∞).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Sprawdź wzór i zapisz warunek $k\neq 0$ oraz dziedzinę $x\neq 0$ .
Zapisz asymptoty: $x=0$ i $y=0$ .
Ustal znak $k$ .
Wyznacz ćwiartki: $k>0 \Rightarrow$ I i III, $k<0 \Rightarrow$ II i IV.
Policz kilka punktów kontrolnych (np. $x=1,2,-1,-2$ ).
Narysuj dwie gałęzie zbliżające się do asymptot, ale ich nieprzecinające.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 ( k 0 ). Naszkicuj i opisz f(x)=\frac{4}{x} : D f=\mathbb{R}\setminus\{0\},\qquad W f=\mathbb{R}\setminus\{0\},\qquad k=4 0 Skoro k 0 , gałęzie leżą w I i III ćwiartce; asymptoty x=0 i y=0 ; funkcja maleje na (-\infty,0) oraz na (0,\infty) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Podstawianie x=0 . x=0 nie należy do dziedziny — nie wolno dzielić przez zero.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Możesz dostać wykres i pytanie o wzór albo wzór i pytanie o własności. CKE lubi sprawdzać: dziedzinę funkcji wymiernej, znak współczynnika k , asymptoty, odczytywanie wartości z wykresu i rozpoznawanie przesuniętej hiperboli f(x)=\frac{a}{x-p}+q (asymptoty…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość