Wektory w układzie współrzędnych

Wektor w układzie współrzędnych to para liczb $[x,\ y]$ — jego współrzędne: pierwsza mówi, o ile przesuwamy się w poziomie, druga — w pionie.

Wektor $\vec{AB}$ między punktami $A$ i $B$ liczymy zawsze tak samo — koniec minus początek:

$$\vec{AB} = [\,x$$_B - x_A,\ \ y_B - y_A\,]

Zwrot ma znaczenie (czyli kolejność punktów): $\vec{AB} \neq \vec{BA}$, bo $\vec{BA} = -\vec{AB}$ — ten sam odcinek i ten sam kierunek, ale przeciwny zwrot.

Długość (moduł) wektora to odległość jego końców:

$$|\vec{AB}| = \sqrt{(x$$_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Wektor to nie punkt. Punkt ma położenie, wektor ma przesunięcie: kierunek, zwrot i długość. Ta sama para liczb, inne znaczenie.

Wizualizacja· Wektor: od punktów do przesunięcia

Co zauważyć: Koniec minus początek: AB = [x_B−x_A, y_B−y_A]. Zwrot: od A do B. Długość: liczba jednostek przesunięcia.

1. Zapisz współrzędne punktów, np. $A=(x$_A,\ y_A) oraz $B=(x$_B,\ y_B).
2. Współrzędne wektora $\vec{AB}$: odejmij koniec minus początek.
3. Długość: pierwiastek z sumy kwadratów różnic współrzędnych.
4. Dodawanie i odejmowanie wektorów — po współrzędnych: $\vec{u}+\vec{v}=[u$₁+v₁,\ u₂+v₂].
5. Mnożenie przez liczbę $k$ (skalar): $k\vec{u}=[k u$₁,\ k u₂] — zmienia długość $k$ razy, a dla $k<0$ odwraca zwrot.
6. Współliniowość (równoległość): $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są współliniowe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego:

$$\vec{v} = k\,\vec{u} \quad\Longleftrightarrow\quad u$$₁ v₂ - u₂ v₁ = 0

Dla niezerowych wektorów proporcjonalność $\vec{v}=k\vec{u}$ oznacza ten sam (dla $k>0$) lub przeciwny (dla $k<0$) zwrot. Warunek z wyznacznikiem $u$₁ v₂ - u₂ v₁ = 0 jest wygodniejszy, bo nie wymaga dzielenia i działa również wtedy, gdy któraś współrzędna jest zerem.

Działania na wektorach w skrócie: