Funkcja logarytmiczna — wykres, własności i przekształcenia

Klasa 3Funkcja logarytmicznaWykres i dziedzinaPP/PR

Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę. Funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej, dlatego jej dziedzina to tylko liczby dodatnie.

⏱ ~31 min

Funkcja logarytmiczna — wykres, własności i przekształcenia

Po co Ci ten temat?

Logarytmy wyglądają obco, ale to tylko inny sposób mówienia o potęgach. Jeśli umiesz odpowiedzieć na „2 do której potęgi daje 8?", już rozumiesz logarytm: $\log_2 8=3$ . Funkcja logarytmiczna przydaje się w zadaniach z wykresami, dziedziną, równaniami i modelami wolnego wzrostu / dużej skali.

Poziom: część wspólna PP/PR; definicja i proste własności są bazowe, a przekształcenia i analiza dziedziny są typowe dla rozszerzenia.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Logarytm pyta o wykładnik:

\log_a b=c \;\Longleftrightarrow\; a

Czyli: podstawa $a$ musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana $b$ musi być dodatnia. Logarytm to działanie odwrotne do potęgowania.

Funkcja logarytmiczna $f(x)=\log_a x$ (z warunkiem $x>0$ ):

Podstawa	Zachowanie	Dziedzina	Punkt charakt.	Asymptota
$a>1$	rośnie	$(0,+\infty)$	$(1,0)$	$x=0$
$0<a<1$	maleje	$(0,+\infty)$	$(1,0)$	$x=0$

Wykres zawsze przechodzi przez $(1,0)$ (bo $\log_a 1=0$ ) i przez $(a,1)$ (bo $\log_a a=1$ ); zbiór wartości to $\mathbb{R}$ .

Dwa miniwykresy funkcji logarytmicznej — po lewej a>1 rosnąca, po prawej 0<a<1 malejąca; na obu punkt (1,0), asymptota pionowa x=0 i dziedzina (0,+∞) — Podstawa decyduje o monotoniczności (rośnie dla a>1, maleje dla 0<a<1), ale punkt (1,0), asymptota x=0 i dziedzina (0,+∞) zostają takie same.

⚠️ Dziedzina to nie formalność

W zadaniach z logarytmem argument logarytmu zawsze musi być dodatni — to często część odpowiedzi, a nie dodatek na końcu. Sprawdzasz dwa warunki osobno: podstawę ( $a>0,\ a\neq 1$ ) i argument ( $>0$ ).

Schemat pojęć

Kolejność analizy funkcji logarytmicznej

zawsze tak samo — dziedzina jest pierwsza

Dziedzina

argument > 0 (to część odpowiedzi)

↓

Asymptota

pionowa x=0, a po przesunięciu poziomym x=p

↓

Monotoniczność

a>1 rośnie, 0<a<1 maleje

↓

Wykres

dopiero teraz rysuj: punkt (1,0) i kształt

Zapamiętaj: Bez dziedziny łatwo narysować zły wykres i stracić punkty: dziedzina → asymptota → monotoniczność → wykres.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

⚠️ Co rusza asymptotę, a co nie: przesunięcie poziome \log a(x-p) przesuwa asymptotę do x=p i zmienia dziedzinę na x p . Przesunięcie pionowe \log a x+q nie rusza asymptoty — zostaje x=0 , a dziedzina nadal (0,+\infty) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (dziedzina i przesunięcie). f(x)=\log 2(x-4) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Brak warunku x 0 dla argumentu. Logarytm nie istnieje dla liczb niedodatnich — argument musi być dodatni.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Typowe zadania: oblicz wartość logarytmu z definicji, wyznacz dziedzinę funkcji logarytmicznej, dopasuj wzór do wykresu, rozwiąż równanie/nierówność logarytmiczną, uprość wyrażenie własnościami logarytmów. Najczęstsza strata punktu: brak dziedziny .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość