NexTutor
Dział MAT.4.2›Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona — podstawowe wzory

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona — podstawowe wzory

Klasa 4Materiał dodatkowyCałka nieoznaczona

Całkowanie nieoznaczone to odwracanie pochodnej: szukasz funkcji, której pochodna daje podaną funkcję. Najczęściej wygrywa ten, kto zna kilka podstawowych wzorów i zawsze dopisuje stałą +C.

⏱ ~30 min
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona — podstawowe wzory

Po co Ci ten temat?

Całki wyglądają groźnie, ale pierwszy poziom jest prosty: to pochodna puszczona w drugą stronę. Jeśli pochodna F(x)F(x) daje f(x)f(x), to FF jest funkcją pierwotną funkcji ff.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Pochodna: „co dostanę, gdy zróżniczkuję funkcję?". Całka nieoznaczona — pytanie odwrotne: „jaka funkcja po zróżniczkowaniu da to wyrażenie?".

∫f(x) dx=F(x)+C,gdzie F′(x)=f(x)\int f(x)\,dx=F(x)+C,\qquad \text{gdzie } F'(x)=f(x)

Dlaczego +C+C? Bo pochodna stałej to 00: funkcje x3x3, x3+5x3+5, x3−100x3-100 mają tę samą pochodną 3x23x^2. Całka nieoznaczona to więc cała rodzina funkcji pierwotnych.

Funkcja pod całkąWynik
xn, n≠−1xn,\ n\neq-1xn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
1x\dfrac1xln⁡∣x∣+C\ln\lvert x\rvert+C
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x+C
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x+C
exexex+Cex+C
ax (a>0, a≠1)ax\ (a>0,\ a\neq1)axln⁡a+C\dfrac{ax}{\ln a}+C
a f(x)+b g(x)a\,f(x)+b\,g(x)a ⁣∫ ⁣f dx+b ⁣∫ ⁣g dxa\!\int\! f\,dx+b\!\int\! g\,dx

📘 Definicja. FF jest funkcją pierwotną funkcji ff na przedziale II, gdy F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) dla każdego x∈Ix\in I. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych ff to całka nieoznaczona: ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx=F(x)+C. Całkowanie nieoznaczone daje rodzinę funkcji, a nie jedną funkcję.

Wizualizacja· Rodzina funkcji pierwotnych F(x)+C
Cztery krzywe o identycznym kształcie przesunięte pionowo (F(x)+C₂, F(x)+C₁, F(x), F(x)−C₃) z zaznaczonym stałym odstępem C między nimi. W jednym punkcie x0 na każdej krzywej narysowana styczna — wszystkie styczne są równoległe, co pokazuje tę samą pochodną f(x0). Na dole wzór (F(x)+C)'=F'(x)=f(x), bo stała C znika po różniczkowaniu.
Funkcje różniące się tylko stałą mają ten sam kształt i tę samą pochodną (styczne w danym x są równoległe). Dlatego całka nieoznaczona to cała rodzina F(x)+C, a wynik bez +C jest niepełny.

Co zauważyć: Ten sam kształt, różne wysokości → równoległe styczne → ta sama pochodna. C znika po różniczkowaniu (C'=0), więc +C jest obowiązkowe.

Pochodna vs całka nieoznaczona:

PochodnaCałka nieoznaczona
Pytanieco dostanę po zróżniczkowaniu FF?jaka FF da ff po zróżniczkowaniu?
KierunekF(x)→f(x)F(x)\to f(x)f(x)→F(x)+Cf(x)\to F(x)+C
Wynikjedna funkcjarodzina F(x)+CF(x)+C

⚠️ Dwa stałe ostrzeżenia

  1. +C+C jest częścią odpowiedzi. Całka nieoznaczona bez +C+C jest niepełna.
  2. Wzór potęgowy nie działa dla n=−1n=-1. Dla x−1=1xx^{-1}=\tfrac1x nie wolno pisać x00\tfrac{x0}{0} — poprawnie ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\tfrac1x\,dx=\ln\lvert x\rvert+C.

Wyjątek n=−1n=-1 — porównanie:

ŹLE (n=−1n=-1)DOBRZE
∫x−1 dx=x00\displaystyle\int x^{-1}\,dx=\dfrac{x^{0}}{0} (dzielenie przez zero)∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\displaystyle\int \dfrac1x\,dx=\ln\lvert x\rvert+C

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1. \displaystyle\int\left(6x^2-\frac4x+5\cos x\right)dx .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Brak +C . Całka nieoznaczona to rodzina funkcji F(x)+C .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Całka nieoznaczona (w pełnym kursie analizy) bywa wstępem do całki oznaczonej i pól pod wykresem. Najprostsza kontrola to pochodna wyniku : jeśli nie daje funkcji spod całki, rozwiązanie jest błędne.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Funkcja pierwotna

Funkcja F, której pochodna jest równa danej funkcji f, czyli F'(x)=f(x).

Całka nieoznaczona

Zapis wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji, zwykle z dopisanym +C.

Stała całkowania C

Dowolna stała, którą dopisujemy, bo pochodna stałej wynosi 0.

Wzór potęgowy

Dla n≠−1: ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C.

Liniowość całki

Sumę i stałe można rozdzielać: ∫(af+bg)=a∫f+b∫g.

Sprawdzenie całki

Różniczkujemy wynik i sprawdzamy, czy wraca funkcja spod całki.

Materiały ZPE

2 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:11%
← Powrót do działuNastępna lekcja →