Równania wykładnicze i logarytmiczne — wszystkie metody

Klasa maturalnaMatura PPDziedzina logarytmu

W równaniach wykładniczych i logarytmicznych najważniejsze jest doprowadzenie obu stron do tej samej podstawy albo użycie definicji logarytmu. Najwięcej punktów traci się nie na rachunkach, tylko na pominięciu dziedziny logarytmów.

⏱ ~36 min

Równania wykładnicze i logarytmiczne — wszystkie metody

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

Równania wykładnicze i logarytmiczne zwykle nie są długie, ale wymagają wyboru metody. CKE sprawdza rozpoznanie sytuacji i kontrolę dziedziny.

Typ zadania	Co robisz?
$2$	wspólna podstawa: $16=2$
$3$	obie strony na potęgi $3$
$\log_2 x=3$	definicja: $x=2$
$\log_3(x-1)=2$	najpierw dziedzina $x-1>0$ , potem definicja
$\log_2 x+\log_2(x-2)=3$	dziedzina + własność $\log a+\log b=\log(ab)$

Poziom: matura podstawowa + PR (kilka własności, zmiana podstawy, podstawienie do równania kwadratowego).

Definicja

Dziedzina i definicja logarytmu

\log_a b \text{ ma sens, gdy } a>0,\ a\neq1,\ b>0

\log_a b=c \iff a

Równanie logarytmiczne rozwiązujesz dwa razy: najpierw dziedzina (argumenty $>0$ ), potem rachunek. Każde rozwiązanie sprawdzasz z dziedziną.

Słownictwo

Wykładnicze vs logarytmiczne

Równanie wykładnicze	Równanie logarytmiczne
niewiadoma w wykładniku	niewiadoma w argumencie/podstawie logarytmu
metoda: wspólna podstawa lub podstawienie $t=a$	metoda: dziedzina → definicja → własności logarytmów
zwykle bez ograniczeń dziedziny	zawsze dziedzina (argument $>0$ )

Drzewo decyzji — "Co widzisz?" rozgałęzia się na niewiadomą w wykładniku (wspólna podstawa lub podstawienie t=aˣ, t>0) oraz logarytm z niewiadomą (najpierw dziedzina arg>0, potem definicja/własności, na końcu sprawdzenie dziedziny) — Niewiadoma w wykładniku → wspólna podstawa lub podstawienie t=aˣ (t>0). Logarytm z niewiadomą → najpierw dziedzina (argument>0), potem definicja/własności (ta sama podstawa), na końcu kontrola dziedziny.

Schemat rozwiązania zadania

1. Rozpoznaj: wykładnicze czy logarytmiczne.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 1 — logarytmiczne z odrzuceniem rozwiązania

\log 2(x-1)+\log 2(x+1)=3 . Dziedzina: x-1 0 i x+1 0 , więc x 1 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — wykładnicze z podstawieniem

4^x-5\cdot2^x+4=0 . Zauważ 4^x=(2^x)^2 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Zadanie zamknięte (w stylu CKE)

Rozwiązaniem równania \log 3(x+1)+\log 3(x-1)=1 jest: A) x=2 \quad B) x=-2 \quad C) x\in\{-2,2\} \quad D) x=\sqrt3 Dziedzina: x+1 0 i x-1 0 , więc x 1 . Łączymy: \log 3\big((x+1)(x-1)\big)=1 , czyli x^2-1=3 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Brak dziedziny logarytmu. Nawet dobry rachunek może dać wynik niedozwolony — argument musi być 0 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: rozpoznaj typ, przy logarytmach najpierw dziedzina , sprowadź do wspólnej podstawy lub użyj definicji/podstawienia, rozwiąż i odfiltruj wyniki spoza dziedziny.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość