NexTutor
Dział MAT.M.8›Zastosowania: wzrost i zanik eksponencjalny

Zastosowania: wzrost i zanik eksponencjalny

Klasa maturalnaMatura PPWzrost i zanik

W zadaniach o wzroście i zaniku eksponencjalnym chodzi o rozpoznanie, że ta sama zmiana procentowa powtarza się wiele razy. Wtedy nie dodajesz procentów, tylko mnożysz przez kolejne czynniki, np. 1,05ⁿ albo 0,92ⁿ.

⏱ ~39 min
Zastosowania: wzrost i zanik eksponencjalny

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

Zastosowania funkcji wykładniczej to lokaty, populacje, bakterie, promieniotwórczość, spadek wartości, procent składany. Zwykle nie chodzi o trudny wzór, tylko o rozpoznanie modelu.

SytuacjaModel
wzrost o 5%5\% co rokPn=P0⋅1,05nPn=P0\cdot1{,}05^n
spadek o 8%8\% co okresPn=P0⋅0,92nPn=P0\cdot0{,}92^n
podwojenie co 33 godzinyP(t)=P0⋅2t/3P(t)=P0\cdot2^{t/3}
połowiczny rozpad co 1010 latP(t)=P0⋅(12)t/10P(t)=P0\cdot\left(\tfrac12\right)^{t/10}

Poziom: matura podstawowa (procent składany) + PR (czas połowiczny, podwojenie, szukanie czasu przez logarytm).

Słownictwo

Wzór ogólny i zamiana procentu na czynnik

Pn=P0⋅qnPn=P0\cdot qn wzrost o p%⇒q=1+p100,spadek o p%⇒q=1−p100\text{wzrost o }p\% \Rightarrow q=1+\tfrac{p}{100},\qquad \text{spadek o }p\% \Rightarrow q=1-\tfrac{p}{100}
SytuacjaCzynnik qq
+5%+5\%1,051{,}05
−8%-8\%0,920{,}92
podwojenie22
połowa12\tfrac12

Wzrost: q>1q>1. Zanik: 0<q<10<q<1.

Wizualizacja· Procent składany: mnożysz przez czynnik
Łańcuch P0 ×q → P1 ×q → P2 ×q → P3 = P0·q³; dwa wykresy wzrost q>1 i zanik 0<q<1; tabela +5%→1,05, -8%→0,92, podwojenie→2, połowa→½
Ta sama operacja ×q powtórzona n razy daje potęgę qⁿ — dlatego procentów składanych NIE dodajemy, tylko potęgujemy. q>1 → wzrost, 0<q<1 → zanik.

Schemat rozwiązania zadania

  1. Ustal wartość początkową P0P0.
  2. Wzrost czy spadek? → zbuduj czynnik qq.
  3. Ustal liczbę okresów nn (uwaga: nie zawsze równa liczbie lat).
  4. Podstaw do Pn=P0⋅qnPn=P0\cdot qn.
  5. Szukasz czasu? → rozwiąż nierówność/równanie wykładnicze.
  6. Sprawdź jednostki (lata, miesiące, dni, godziny).

Przykład

Przykład 1 — procent składany

Kwota 4000 zł rośnie o 6\% rocznie.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — kapitalizacja miesięczna (rok ≠ 1 okres)

Kapitał 12000 zł rośnie o 1\% miesięcznie . Po roku to n=12 okresów: P {12}=12000\cdot1{,}01^{12} (Najczęstsza pułapka: rok to nie zawsze n=1 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — czas połowicznego rozpadu

Substancja traci połowę masy co 5 dni.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — „po ilu okresach?"

Wartość spada o 20\% rocznie ( q=0{,}8 ). Kiedy spadnie poniżej połowy?

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Czas przez logarytm (dokładne $n$)

Gdy szukasz dokładnej liczby okresów z P 0\cdot q^n=A , przekształć q^n=\dfrac{A}{P 0} i zlogarytmuj: n=\frac{\log\! \left(\dfrac{A}{P 0}\right)}{\log q} Np.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Dodawanie procentów ( 6\%\cdot3=18\% ). Procent składany działa przez mnożenie od nowej wartości: P 0\cdot1{,}06^3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: zbuduj czynnik q z procentu, ustal liczbę okresów , podstaw do P n=P 0q^n . Procentów składanych nie dodajemy — potęgujemy.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Wzrost eksponencjalny

Sytuacja, gdy wielkość jest wielokrotnie mnożona przez ten sam czynnik większy od 1

Zanik eksponencjalny

Sytuacja, gdy wielkość jest wielokrotnie mnożona przez czynnik między 0 a 1

Czynnik wzrostu

Liczba, przez którą mnożymy w każdym okresie, np. 1,05 dla wzrostu o 5%

Czynnik spadku

Liczba, przez którą mnożymy przy spadku, np. 0,92 dla spadku o 8%

Procent składany

Model, w którym procent nalicza się od aktualnej, a nie tylko początkowej wartości

Materiały ZPE

2 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:8%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →