Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Podręcznik›Fizyka›Dział FIZ.1.3›Praca i moc — definicje i obliczenia

FIZ.1.3.1

Praca i moc — definicje i obliczenia

W = FΔx·cosα, moc, sprawność i twierdzenie o pracy

praca mechanicznamocsprawnośćtwierdzenie o pracyF(x)praca sprężynymatura fizyka ZR⏱ ~50 min

⏱ ~50 min

Po tej lekcji będziesz umieć

Obliczyć pracę siły korzystając z W = FΔx·cosα

i określić jej znak

Wyznaczyć pracę jako pole pod wykresem F(x)

dla siły stałej i sprężyny

Obliczyć moc P = W/t = F·v

i przeliczyć między W, kW i KM

Zastosować sprawność η

do zadań z silnikami i maszynami

Sprawdzić warunek wykonania pracy

F ≠ 0, Δx ≠ 0, cosα ≠ 0 (znak pracy zależy od kąta)

Po co Ci to na maturze?

Praca i moc pojawiają się w ~30% zadań maturalnych — głównie jako wstęp do zasady zachowania energii. Na PP wystarczy W = FΔx; na PR egzaminatorzy lubią zadania z F(x) i sprawność η urządzeń.

Najważniejsza idea

W = FΔx·cosα. Praca jest dodatnia dla 0° ≤ α < 90°, zerowa dla α = 90° i ujemna dla 90° < α ≤ 180°. Warunek pracy niezerowej: F ≠ 0, Δx ≠ 0 i cosα ≠ 0. Dlatego tarcie zwykle wykonuje pracę ujemną.

Intuicja zjawiska

Pchasz wózek poziomo z siłą 50 N przez 10 m — wykonujesz pracę W = 500 J. Ale jeśli trzymasz walizkę w ręku i idziesz poziomo — twoja ręka nie wykonuje pracy (siła pionowa, ruch poziomy, α = 90°). Praca to nie wysiłek fizyczny — to iloczyn siły i przesunięcia w kierunku tej siły.

Praca W [J]

W = F·Δx·cosα. Może być ujemna (tarcie, hamowanie) lub zerowa (α = 90°). 1 J = 1 N·m = siła 1 N na drodze 1 m.

Moc P [W]

P = W/t = F·v·cosα (gdy F ∥ v: P = Fv). Mówi jak szybko wykonywana jest praca. 1 W = 1 J/s. Silniki: 1 KM ≈ 736 W.

Sprawność η

η = $W_\text{użyteczna}$ / $W_\text{dostarczona}$ ≤ 1. Różnica to straty (ciepło, tarcie). Silnik termiczny: η ≈ 20–40%; elektr.: η ≈ 90%.

Wielkości i jednostki

Praca

W [J], F [N], Δx [m], α [°]

W = F·Δx·cosα; W < 0 gdy α > 90° (hamowanie, tarcie)

Moc i sprawność

P [W], t [s], v [m/s], η (bezwym.)

P = W/t = F·v; η = $W_\text{uż}$ / $W_\text{dost}$ ; 1 kWh = 3,6 MJ

Zapamiętaj

Przeliczenia mocy: 1 kW = 1000 W; 1 KM (koń mechaniczny) = 736 W; 1 kWh = 3 600 000 J = 3,6 MJ (energia, nie moc!).

Modele i zasady

Szybka zasada

Praca siły stałej: W = F·Δx·cosα. Dla α = 0°: W = FΔx (max). Dla α = 90°: W = 0. Dla α = 180°: W = −FΔx (tarcie). Ciężar w ruchu poziomym: $W$ = 0.

Szybka zasada

Praca ze zmienną siłą: W = pole pod wykresem F(x). Sprężyna: praca siły zewnętrznej $W_\text{zewn}$ = ½kx² = energia sprężystości (trójkąt pod F = kx); praca samej siły sprężystości ma znak przeciwny. Niestała siła: liczymy sumę małych prostokątów.

Szybka zasada

Twierdzenie o pracy i energii kinetycznej: $W_\text{wypadkowa}$ = ΔEk = Ek₂ − Ek₁. Potężne narzędzie: omija a i t, łączy siły z prędkością.

Mapa modelu pracy i mocy

Figura 1 · Przepływ myślenia

Mapa modelu pracy i mocy

Kiedy siła wykonuje pracę?

F ≠ 0Δx ≠ 0kąt α < 90°

Kąt między F i Δx

W = FΔxcosαα = 0 →

W_{\text{max}}

α = 90° → W = 0

Praca W [J]

W = FΔx (α=0)W = F·Δx·cosαujemna gdy α>90°

Praca z wykresu F(x)

W = pole pod F(x)trapez lub trójkątspr.: W=½kx²

Praca wypadkowa

W_{\text{wyp}}

= ΣWᵢW = ΔEk (tw. o pracy)

W_{\text{sił}}

=−ΔEp

Moc P [W]

P = W/tP = F·v1 W = 1 J/s

Sprawność η

η =

W_{\text{użyt}}

W_{\text{włożon}}

η ∈ (0;1)η·100% = %

Weryfikacja

J = N·mW [J], P [W], η [1]W < 0 gdy hamowanie

Przepływ 1→8:12345678

Teoria: wzory i wykresy

Praca stałej siły pod kątem α:

$W = F \cdot \Delta x \cdot \cos\alpha$

Praca siły wypadkowej = zmiana energii kinetycznej:

$W_{wyp} = \Delta E$

Praca przy rozciąganiu/ściskaniu sprężyny (siła rośnie od 0 do kx):

$W_{zewn} = E_{spr} = \frac{1}{2}kx^2 \quad (\text{pole trójkąta pod } F(x) = kx)$

Uwaga na znak: $\tfrac{1}{2}kx^2$ to praca siły zewnętrznej (= energia zgromadzona w sprężynie). Praca samej siły sprężystości (przeciwnej do wychylenia) przy rozciąganiu od 0 do x jest ujemna: $W_{spr} = -\tfrac{1}{2}kx^2$ .

Praca ciężaru (przy przemieszczeniu pionowym Δh):

$W$

Moc i sprawność:

$P = \frac{W}{t} = F \cdot v \cdot \cos\alpha \quad (\text{gdy } F \parallel v:\ P = Fv), \quad \eta = \frac{W_{uż}}{W_{dost}} = \frac{P_{uż}}{P_{dost}}$

Szybka zasada

Wykres F(x) dla różnych sił: Siła stała F: prostokąt, W = F·Δx. Sprężyna F = kx: trójkąt prostokątny, W = ½kx². Odczytaj pole geometrycznie — nie musisz całkować.

W = F·Δx·cosα

praca ogólnie

$E_\text{spr}$ = ½kx²

energia sprężyny (pole trójkąta)

$W_\text{wyp}$ = ΔEk

tw. o pracy

P = W/t = Fv

moc

η = $W_\text{uż}$ / $W_\text{dost}$

sprawność

1 kWh = 3,6 MJ

energia elektryczna

Solver pracy i mocy

Solver · Procedura rozwiązania

Solver pracy i mocy — krok po kroku

Analiza sił

Zidentyfikuj siły

Które siły działają wzdłuż Δx?

F równoległa do Δxkąt α?

Kąt α

Kąt między wektorem F i kierunkiem Δx

α = 0 → cosα = 1α = 90 → W = 0

Praca każdej siły

$W$ = $F$ ·Δx·cos $α_{\text{i}}$

ciężar: α=90° → W=0N: α=90° → W=0

Obliczenia

Praca wypadkowa

$W_ ext{wyp}$ = Σ $W$ lub $W_ ext{wyp}$ = ΔEk

tw. o pracyW=ΔEk

Wykres F(x)?

W = pole pod F(x). Sprężyna: ½kx²

trapeztrójkąt

Moc P

P = W/t lub P = F·v

jednostka W (wat)1 kW = 1000 W

Wynik

Sprawność η

η = $W_ ext{użyt}$ / $W_ ext{całk}$ = $P_ ext{użyt}$ / $P_ ext{całk}$

η ≤ 1×100% = %

Sprawdź jednostki

J = N·m = kg·m²/s²; W = J/s = kg·m²/s³

SI!1 kWh = 3,6 MJ

Sens fizyczny

W < 0 gdy siła przeciwna do ruchu

hamowanietarcie < 0

Doświadczenie: wyznaczenie pracy tarcia na pochyłości

Cel: wyznaczyć pracę siły tarcia przez pomiar Δv i zastosowanie twierdzenia o pracy.

Hipoteza: $W_\text{wyp}$ = ΔEk, więc $W_\text{tarcia}$ = ΔEk − $W_\text{ciężaru}$ = (½mv₂² − ½mv₁²) − mg·sinθ·Δx.

Zmienna	Typ	Opis
v₁, v₂ — prędkości	zależne	z fotokomórek na początku i końcu pochyłości
Δx — długość toru	niezależna	mierzona linijką
θ — kąt pochyłości	kontrolowana	stały

Zmierz kąt pochyłości θ i długość toru Δx

np. θ = 20°, Δx = 0,8 m

Puść klocek bez pchnięcia, zmierz v₁ ≈ 0 i v₂ (fotokomórka na dole)

powtórz 5 razy

Oblicz ΔEk = ½mv₂² i $W_\text{ciężaru}$ = mg·sinθ·Δx

podstaw zmierzone wartości

Wyznacz $W_\text{tarcia}$ = ΔEk − $W_\text{ciężaru}$

W_\text{tarcia}

< 0 (tarcie hamuje)

Oblicz $f$ = | $W_\text{tarcia}$ |/Δx i $\mu_k$ = $f$ /N = $f$ /(mg·cosθ)

porównaj z pomiarem bezpośrednim

Wzór na pracę tarcia:

$W_{tarcia} = \Delta E$

Szybka zasada

Źródła niepewności: Dokładność v₂ (δv ≈ 1%), kąt θ (δθ ≈ 0,5°), masa m (δm ≈ 0,5%). Dominuje błąd pomiaru v₂.

Najważniejsza idea

Niepewność względna (PR): δ $W_\text{tarcia}$ jest duże gdy $W_\text{tarcia}$ ≪ $W_\text{ciężaru}$ (różnica dwóch dużych liczb). Zwiększ μ lub zmniejsz θ, żeby | $W_\text{tarcia}$ |/ $W_\text{ciężaru}$ ≥ 0,1.

Wniosek: Wyznaczone $\mu_k$ metodą energetyczną jest zgodne z pomiarem bezpośrednim w granicach 5%. Twierdzenie o pracy pozwala wyeliminować pomiar F i a.

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE): Silnik elektryczny (P = 2,5 kW, η = 80%) unosi windę m = 500 kg na wysokość h = 12 m. Ile czasu zajmuje ten przejazd?

1. Moc użyteczna:

$P_{uż} = \eta \cdot P = 0{,}8 \cdot 2500 = 2000 \, W$

2. Praca użyteczna (uniesienie windy):

$W_{uż} = mgh = 500 \cdot 10 \cdot 12 = 60\,000 \, J$

3. Czas:

$t = \frac{W_{uż}}{P_{uż}} = \frac{60\,000}{2000} = 30 \, s$

Zapamiętaj

Strategia: sprawność η redukuje moc użyteczną, nie całkowitą pracę. $W_\text{użyteczna}$ = uniesienie, reszta to straty cieplne.

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Sprężyna k = 500 N/m zostaje ściśnięta o x = 0,1 m od położenia równowagi.

Oblicz energię sprężystości $E_\text{sp}$ = ½kx².
Oblicz pracę W, którą trzeba wykonać, żeby ją ścisnąć.
(PR) Sprężyna wyrzuca kulę m = 0,05 kg. Oblicz prędkość kuli ( $E_\text{sp}$ → Ek).

Częste błędy

Siła normalna wykonuje pracę

Nie! N ⊥ Δx, α = 90° → $W$ = 0. Podobnie siła odśrodkowa ⊥ v → W = 0.

Praca = siła × droga zawsze

W = F·s·cosα. Tylko gdy α = 0: W = Fs. Przy kącie: mnóż przez cosα.

P = F·a

Nie! P = F·v (moc = siła × prędkość). P = W/t. F·a to coś innego (moc·masa?).

η = $P_\text{wejście}$ / $P_\text{wyjście}$

Odwrotnie! η = $P_\text{wyjście}$ / $P_\text{wejście}$ = $W_\text{użyteczna}$ / $W_\text{całkowita}$ ≤ 1.

1 kWh = 1000 W

Nie! kWh to energia, W to moc. 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3,6 MJ.

$W_\text{tarcia}$ = 0 na poziomej powierzchni

Tylko gdy v = 0. Gdy ciało się ślizga: $W_\text{tarcia}$ = − $f$ ·Δx < 0 zawsze.

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE

W = F·Δx·cosα

praca

$E_\text{spr}$ = ½kx²

sprężyna

$W_\text{wyp}$ = ΔEk

tw. o pracy

P = W/t = Fv

moc

η = $W_\text{uż}$ / $W_\text{dost}$

sprawność

1 kWh = 3,6 MJ

energia

Zapamiętaj

Gdy siła jest prostopadła do przesunięcia (α = 90°), nie wykonuje pracy — tak zwykle jest z siłą normalną, a w ruchu jednostajnym po okręgu z siłą dośrodkową. Zawsze sprawdzaj kąt między siłą a przesunięciem. Tarcie kinetyczne przy ruchu wykonuje pracę ujemną.

Kluczowe pojęcia

Praca

W = F·Δx·cosα [J]; skalar; może być ujemna gdy α > 90°; nie zależy od czasu

Moc

P = W/t = F·v [W]; miara szybkości wykonywania pracy; 1 W = 1 J/s

Sprawność

η = $W_\text{użyteczna}$ / $W_\text{dostarczona}$ ≤ 1; straty = ciepło, dźwięk, odkształcenie

Twierdzenie o pracy

$W_\text{wyp}$ = ΔEk; praca wypadkowej = zmiana energii kinetycznej

Praca/energia sprężyny

$W_\text{zewn}$ = $E_\text{spr}$ = ½kx² (pole trójkąta pod F(x)); praca samej siły sprężystości ma znak przeciwny (zależny od kierunku ruchu); x — wydłużenie od położenia równowagi