NexTutor
Dział MAT.1.3›Nierówności liniowe — zapis przedziałami i na osi

Nierówności liniowe — zapis przedziałami i na osi

Klasa 1PodstawaUjemna liczba odwraca znak

Nierówność liniowa działa podobnie jak równanie, ale odpowiedzią zwykle jest cały przedział liczb, a nie jedna liczba. Najważniejsza pułapka: przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną zmieniasz znak nierówności.

⏱ ~26 min
Nierówności liniowe — zapis przedziałami i na osi

Po co Ci ten temat?

Nierówności liniowe są potrzebne, gdy odpowiedzią nie jest jedna liczba, tylko zakres możliwości: xx większe od czegoś, mniejsze od czegoś albo między dwiema liczbami. Wracają przy przedziałach na osi, dziedzinie funkcji, zadaniach z ograniczeniami oraz przy nierównościach kwadratowych i wymiernych w kolejnych działach.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Nierówność mówi nie „xx jest równe", lecz „xx jest większe/mniejsze". Np. x>3x>3 to wszystkie liczby większe od 33; zapisujemy je przedziałem (3,∞)(3,\infty).

Reguła specjalna (najważniejsza): gdy mnożysz albo dzielisz nierówność przez liczbę ujemną, odwracasz znak:

−2x<6  ⇒  x>−3-2x<6 \;\Rightarrow\; x>-3

Przez liczbę dodatnią — znak zostaje bez zmian.

NierównośćZapis przedziałemKońcówka na osi
x>ax>a(a,∞)(a,\infty)kółko otwarte, strzałka w prawo
x≥ax\ge a[a,∞)[a,\infty)kółko zamknięte, strzałka w prawo
x<ax<a(−∞,a)(-\infty,a)kółko otwarte, strzałka w lewo
x≤ax\le a(−∞,a](-\infty,a]kółko zamknięte, strzałka w lewo
Infografika

Kiedy odwracam znak nierówności?

to najczęstszy błąd za punkt

1

Mnożysz/dzielisz przez DODATNIĄ?

znak bez zmian (jak w równaniu)

2

Mnożysz/dzielisz przez UJEMNĄ?

odwróć znak: < ↔ > • ≤ ↔ ≥

3

Zapisz wynik

x>… albo x≥… albo x<… albo x≤…

4

Przedział i oś

< > → kółko otwarte; ≤ ≥ → zamknięte; ∞ zawsze z nawiasem okrągłym

Pamiętaj: Po podzieleniu przez liczbę ujemną zatrzymaj się i sprawdź znak. Nieskończoności nigdy nie domykamy.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

  1. Rozwiązuj prawie jak równanie — rób to samo po obu stronach.
  2. Zbierz xx po jednej stronie, liczby po drugiej.
  3. Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną → odwróć znak nierówności.
  4. Zapisz wynik: x>…x>\ldots, x≥…x\ge\ldots, x<…x<\ldots albo x≤…x\le\ldots
  5. Narysuj wynik na osi liczbowej i zapisz odpowiedź przedziałem.
Wizualizacja· Nierówność liniowa — zapis na osi i przedziałem
Oś liczbowa z czterema przypadkami — x>3 (3,∞), x≥3 [3,∞), x<3 (−∞,3), x≤3 (−∞,3] z punktami otwartymi i domkniętymi oraz panel −2x<6 → x>−3
Zapis przedziałów na osi: x>3→(3,∞), x≥3→[3,∞), x<3→(−∞,3), x≤3→(−∞,3]. Panel: dzieląc −2x<6 przez liczbę ujemną, odwracamy znak → x>−3.

Co zauważyć: > lub < to punkt pusty i nawias okrągły; ≥ lub ≤ to punkt pełny i nawias kwadratowy. Mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (z odwróceniem znaku). Rozwiąż 5−2x≤115-2x\le 11:

−2x≤6  ⇒  x≥−3  ⇒  x∈[−3,∞)-2x\le 6 \;\Rightarrow\; x\ge -3 \;\Rightarrow\; x\in[-3,\infty)

Dzielimy przez −2-2, więc znak ≤\le zmienia się na ≥\ge.

Przykład 2 (bez odwracania). Rozwiąż 3x+4<103x+4<10:

3x<6  ⇒  x<2  ⇒  x∈(−∞,2)3x<6 \;\Rightarrow\; x<2 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty,2)

Przykład 3 (z nawiasami). Rozwiąż 3(x−2)≤2x+53(x-2)\le 2x+5. Najpierw usuń nawias: 3x−6≤2x+53x-6\le 2x+5, potem przenieś xx na lewo, a liczby na prawo:

3x−2x≤5+6  ⇒  x≤11  ⇒  x∈(−∞,11]3x-2x\le 5+6 \;\Rightarrow\; x\le 11 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty,11]

Tu nie dzielimy przez liczbę ujemną, więc znak zostaje bez zmian.

Przypadki specjalne (gdy xx się skraca). Po redukcji może zniknąć xx i zostaje samo zdanie o liczbach — wtedy sprawdzasz tylko, czy jest prawdziwe:

0⋅x<5⇒0<5 (prawda)⇒S=R,0⋅x>5⇒0>5 (fałsz)⇒S=∅0\cdot x<5 \Rightarrow 0<5\ (\text{prawda}) \Rightarrow S=\mathbb{R},\qquad 0\cdot x>5 \Rightarrow 0>5\ (\text{fałsz}) \Rightarrow S=\varnothing

Mini-zadanie: rozwiąż 2x−6≥02x-6\ge 0. Odpowiedź: x≥3x\ge 3, czyli x∈[3,∞)x\in[3,\infty) — uwaga, 33 należy do rozwiązania (nawias kwadratowy).

Sprawdź się — mini-check
  • Bez odwracania: rozwiąż 3x+4<10.
  • Z odwracaniem: rozwiąż 5−2x≤11.
  • Z odwracaniem: rozwiąż −x>2.
  • Zapis przedziałem: zapisz x≥3 jako przedział.
  • Oś: czy w x>2 punkt 2 jest kółkiem otwartym czy zamkniętym?
  • Z nawiasami: rozwiąż 3(x−2)≤2x+5.
  • Specjalny: co daje 0·x>5 — S=ℝ czy S=∅?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

  • Dzielenie przez liczbę ujemną bez odwrócenia znaku. −2x≤6⇒x≥−3-2x\le 6 \Rightarrow x\ge -3 — to najczęstszy błąd za punkt.
  • Nawiasy okrągłe vs kwadratowe. x>2x>2 daje (2,∞)(2,\infty) (2 nie należy), a x≥2x\ge 2 daje [2,∞)[2,\infty) (2 należy).
  • Domknięty nawias przy nieskończoności. Piszemy (−∞,a)(-\infty,a) albo (a,∞)(a,\infty) — ∞\infty nigdy nie domykamy.
  • Odczyt z osi w złą stronę. Strzałka w prawo to większe liczby, w lewo to mniejsze.
  • Tylko x>−3x>-3 bez przedziału. Na maturze często trzeba podać zapis przedziałowy x∈(−3,∞)x\in(-3,\infty).
  • Nierówność jak równanie. Rozwiązaniem jest zbiór liczb (przedział), nie jedna liczba.

Jak to wygląda na maturze?

Nierówność liniowa bywa krótkim zadaniem zamkniętym albo elementem większego zadania. Schemat: rozwiąż nierówność → zapisz zbiór rozwiązań przedziałem → czasem wybierz poprawny przedział albo zaznaczenie na osi.

Przykład: rozwiązaniem 2x−6≥02x-6\ge 0 jest 2x≥62x\ge 6, czyli x≥3x\ge 3, więc [3,∞)[3,\infty). Jeśli w odpowiedziach widzisz (3,∞)(3,\infty) i [3,∞)[3,\infty), zwróć uwagę na znak ≥\ge — tu 33 należy do rozwiązania, więc nawias kwadratowy.

Wskazówka maturalna: zawsze po podzieleniu przez liczbę ujemną zatrzymaj się i sprawdź znak nierówności.

Kluczowe pojęcia

Nierówność liniowa

Nierówność z niewiadomą w pierwszej potędze, np. 2x−5>7

Zbiór rozwiązań nierówności

Wszystkie liczby, które spełniają nierówność

Przedział otwarty

Przedział, który nie zawiera końca, np. (2,5)

Przedział domknięty

Przedział, który zawiera koniec, np. [2,5]

Odwrócenie znaku nierówności

Zmiana < na > albo ≤ na ≥ przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →