Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.3›Układy równań liniowych — metoda podstawiania i przeciwnych współczynników

Układy równań liniowych — metoda podstawiania i przeciwnych współczynników

Klasa 1PodstawaDwie informacje, jedna para

Układ równań to sytuacja, w której dwie informacje muszą być prawdziwe jednocześnie. Najczęściej rozwiązujesz go metodą podstawiania albo przeciwnych współczynników — wybór metody zależy od tego, która szybciej usuwa jedną niewiadomą.

⏱ ~26 min

Układy równań liniowych — metoda podstawiania i przeciwnych współczynników

Po co Ci ten temat?

Układy równań pojawiają się, gdy w zadaniu są dwie niewiadome i dwie informacje: cena biletu normalnego i ulgowego, liczba jabłek i gruszek, dwie liczby o znanej sumie i różnicy. Temat jest bardzo praktyczny — uczy tłumaczenia treści zadania na równania. Sama algebra jest zwykle prosta; trudniejsze bywa dobre oznaczenie $x$ i $y$ .

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Układ równań oznacza: znajdź takie $x$ i $y$ , które pasują do wszystkich równań naraz. Rozwiązaniem jest para uporządkowana $(x,y)$ — nie dwie osobne liczby, a kolejność ma znaczenie: $(8,4)\neq(4,8)$ . Zapisujemy go w klamrze:

\begin{cases} x+y=12\\ x-y=4 \end{cases}

Metoda	Kiedy wygodna	Co robisz
Podstawiania	gdy łatwo wyznaczyć $x$ albo $y$	wyznaczasz jedną niewiadomą i wstawiasz do drugiego równania
Przeciwnych współczynników	gdy współczynniki łatwo się znoszą	dodajesz/odejmujesz równania, by usunąć jedną niewiadomą

Interpretacja graficzna: rozwiązanie układu to punkt przecięcia dwóch prostych, np.

\begin{cases} y=2x+1\\ y=-x+4 \end{cases}

Podstawianie vs przeciwne współczynniki

dwie metody, ten sam wynik

podstawianie

przeciwne współczynniki

gdy łatwo wyznaczyć x lub y

gdy współczynniki łatwo się znoszą

wstaw wyrażenie do drugiego równania

dodaj lub odejmij równania stronami

Dobierz metodę pod układ: gotowe y=… → podstawianie; ±te same współczynniki → przeciwne współczynniki.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Metoda podstawiania:

Wybierz równanie, z którego łatwo wyznaczyć $x$ albo $y$ (np. $x=10-y$ ).
Podstaw to wyrażenie do drugiego równania.
Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą, potem oblicz drugą.
Sprawdź parę w obu równaniach.

Metoda przeciwnych współczynników:

Ułóż równania jedno pod drugim.
Jeśli przy $x$ lub $y$ nie ma przeciwnych współczynników, pomnóż równanie(a) przez odpowiednie liczby.
Dodaj równania stronami — jedna niewiadoma znika.
Oblicz pierwszą niewiadomą, podstaw i oblicz drugą.

Schemat pojęć

Metoda przeciwnych współczynników — eliminacja

przykład x+y=12 oraz x−y=4

ułóż równania jedno pod drugim

sprawdź współczynniki przy x i y

↓

dodaj stronami

(x+y)+(x−y)=12+4 → 2x=16

↓

jedna niewiadoma znika

zostaje równanie liniowe: x=8

↓

podstaw i policz drugą

8+y=12 → y=4, para (8,4)

Zapamiętaj: Jeśli współczynniki nie są przeciwne, najpierw pomnóż równanie(a) przez odpowiednie liczby.

Trzy układy współrzędnych — proste przecinające się w jednym punkcie, proste równoległe (brak rozwiązań) i pokrywające się (nieskończenie wiele) — Rozwiązanie układu dwóch równań liniowych to punkt wspólny prostych: przecięcie → jedno rozwiązanie (x,y); proste równoległe → brak rozwiązań; pokrywające się → nieskończenie wiele.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (przeciwne współczynniki). Rozwiąż $\begin{cases} x+y=12\\ x-y=4 \end{cases}$ . Dodajemy stronami ( $y$ i $-y$ się znoszą):

2x=16 \;\Rightarrow\; x=8,\qquad 8+y=12 \;\Rightarrow\; y=4

Odpowiedź: para $(8,4)$ . Sprawdzenie: $8+4=12$ , $8-4=4$ . ✓

Przykład 2 (podstawianie). Rozwiąż $\begin{cases} y=2x+1\\ x+y=10 \end{cases}$ :

x+(2x+1)=10 \;\Rightarrow\; 3x=9 \;\Rightarrow\; x=3,\quad y=7

Odpowiedź: para $(3,7)$ .

Przykład 3 (tekstowy). Suma dwóch liczb to $15$ , różnica $3$ . Układ $\begin{cases} x+y=15\\ x-y=3 \end{cases}$ daje $2x=18$ , czyli $x=9$ , $y=6$ .

Przykład 4 (liczba rozwiązań — poznasz z algebry). Gdy przy eliminacji znika także druga niewiadoma, zostaje samo zdanie o liczbach:

$\begin{cases} 2x+y=5\\ 4x+2y=11 \end{cases}$ : z pierwszego $y=5-2x$ , do drugiego $4x+2(5-2x)=11 \Rightarrow 10=11$ (fałsz) → brak rozwiązań ( $S=\varnothing$ ; proste równoległe różne).
$\begin{cases} 2x+y=5\\ 4x+2y=10 \end{cases}$ : tak samo $4x+2(5-2x)=10 \Rightarrow 10=10$ (prawda) → nieskończenie wiele rozwiązań (ta sama prosta).

To algebraiczny odpowiednik trzech obrazków: przecięcie (jedno), równoległe różne ( $\varnothing$ ), pokrywające się ( $\infty$ ).

Mini-zadanie: rozwiąż $\begin{cases} x+y=9\\ x-y=1 \end{cases}$ . Odpowiedź: $2x=10$ , więc $x=5$ , $y=4$ .

Sprawdź się — mini-check

Przeciwne współczynniki: rozwiąż x+y=9 oraz x−y=1.
Podstawianie: rozwiąż y=2x+1 oraz x+y=10.
Wybór metody: którą metodą wygodniej rozwiązać x=2 oraz 3x+y=7?
Tekstowe: suma dwóch liczb to 20, różnica 4 — znajdź je.
Sprawdzenie: czy para (3,7) spełnia oba równania z przykładu 2?
Liczba rozwiązań: ile ma układ 2x+y=5, 4x+2y=11?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

Tylko jedna niewiadoma w odpowiedzi. Rozwiązaniem układu jest para $(x,y)$ — są dwie niewiadome.
Dodawanie równań bez dopasowania współczynników. Najpierw trzeba uzyskać przeciwne współczynniki; $2y+3y=5y$ niczego nie eliminuje.
Podstawianie do tego samego równania. Wyznaczone wyrażenie wstawiamy do drugiego równania (inaczej dostajemy tożsamość).
Gubienie znaku przy odejmowaniu równań. Bezpieczniej dodawać po przygotowaniu przeciwnych współczynników.
Brak sprawdzenia w obu równaniach. Para musi spełniać oba równania — jedno nie wystarcza.
Mylenie $(x,y)$ z $(y,x)$ . Kolejność w parze ma znaczenie: $(8,4)\neq(4,8)$ .

Jak to wygląda na maturze?

Układ równań często jest ukryty w zadaniu tekstowym. Schemat: oznacz dwie niewiadome (np. $x$ — bilety normalne, $y$ — ulgowe) → ułóż dwa równania z dwóch informacji → rozwiąż układ → sprawdź sens wyniku.

Przykład: suma dwóch liczb to $15$ , różnica $3$ . Z $\begin{cases} x+y=15\\ x-y=3 \end{cases}$ po dodaniu $2x=18$ , więc $x=9$ , $y=6$ .

Wskazówka maturalna: po rozwiązaniu zawsze podstaw parę $(x,y)$ do obu równań.

Kluczowe pojęcia

Układ równań

Kilka równań, które muszą być spełnione jednocześnie

Rozwiązanie układu

Para liczb, np. (x,y), która pasuje do każdego równania w układzie

Metoda podstawiania

Metoda, w której z jednego równania wyznaczasz jedną niewiadomą i podstawiasz ją do drugiego

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda, w której dodajesz lub odejmujesz równania tak, żeby jedna niewiadoma zniknęła

Para uporządkowana

Zapis rozwiązania w kolejności (x,y), gdzie pierwsza liczba to x, a druga to y

Materiały ZPE

4 materiały

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Układy równań liniowych — zastosowania

Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%

1Po co Ci ten temat?
2Najważniejsza idea w prostych słowach
3Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
4Przykład rozwiązany
5Typowe pułapki i błędy
6Jak to wygląda na maturze?
Kluczowe pojęcia
Materiały ZPE

← Poprzednia lekcja Następna lekcja →