Czym jest funkcja — dziedzina, przeciwdziedzina, wykres — Matematyka klasa 1

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.4›Czym jest funkcja — dziedzina, przeciwdziedzina, wykres

Po co Ci ten temat?

Funkcja to jeden z głównych języków matematyki w liceum — później spotkasz funkcję liniową, kwadratową, wykładniczą, trygonometryczną i wiele zadań z wykresami. Najważniejsze: funkcja nie jest tylko wzorem. Można ją podać wzorem, tabelą, zbiorem par albo wykresem. Na sprawdzianie zwykle nie pytają „co to jest funkcja?", tylko każą sprawdzić, czy coś jest funkcją, wyznaczyć dziedzinę albo odczytać wartość z wykresu.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu argumentowi z dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość:

f:X\to Y

x\in X \;\Longrightarrow\; f(x)\in Y

Trzy zbiory, których nie wolno mylić:

Pojęcie	Symbol	Co oznacza
Dziedzina	$X$ (czyli $D$ )	argumenty, które wolno podstawić
Przeciwdziedzina	$Y$	zbiór, do którego mają należeć wartości
Zbiór wartości	$W$	wartości realnie osiągane; zawsze $W$

Argument vs wartość: argument to $x$ (wejście), wartość to $f(x)$ (wynik). Punkt wykresu zapisujemy $(x,\ f(x))$ — najpierw poziomo $x$ , potem pionowo $y$ .

Schemat pojęć

Funkcja jako przyporządkowanie

jeden argument → dokładnie jedna wartość

x — argument z dziedziny X

wejście, musi być dozwolone

↓

reguła funkcji f

przetwarza argument

↓

f(x) — wartość w Y

wynik: dokładnie jeden dla danego x

Zapamiętaj: Dla jednego x może wyjść tylko jeden y. Ale różne x mogą mieć tę samą wartość — to nadal funkcja.

Funkcję można zapisać na cztery sposoby: wzorem, tabelą, zbiorem par uporządkowanych albo wykresem.

Wzorzec

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Sprawdź, w jakiej postaci podano funkcję: wzór, tabela, wykres, zbiór par.
Ustal dziedzinę — jakie $x$ są dozwolone.
Wartość funkcji: podstaw $x$ do wzoru albo odczytaj $y$ z wykresu.
Punkt na wykresie: podstaw jego $x$ i sprawdź, czy wychodzi jego $y$ .
Czy to funkcja: upewnij się, że żaden $x$ nie ma dwóch różnych wartości $y$ .

Diagram mapowania x→f(x) (1→2, 2→4, 3→6) obok kontrprzykładu 1→2 i 1→5 oraz test pionowej prostej dla funkcji i nie-funkcji — Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi x dokładnie jedną wartość f(x). Po prawej: gdy jeden x ma dwie wartości — to nie funkcja (pionowa prosta przecina wykres dwa razy).

Infografika

Czy to jest funkcja? Szybki test

jeden argument nie może mieć dwóch wartości

1

Zbiór par

sprawdź • czy żaden x nie powtarza się z różnym y

2

Tabela lub wzór

jednemu x odpowiada dokładnie jedna wartość f(x)

3

Wykres — test pionowej prostej

pionowa prosta może przeciąć wykres najwyżej RAZ

4

Uwaga

różne x z tą samą wartością y to nadal funkcja

Pamiętaj: Definicja: każdemu x z dziedziny odpowiada dokładnie jedna wartość. Dwa różne y dla jednego x łamią definicję.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (punkt na wykresie). Dla $f(x)=3x-2$ sprawdź, czy $A=(5,13)$ leży na wykresie. Bierzemy $x=5$ :

f(5)=3\cdot 5-2=13

Druga współrzędna $A$ to $13$ , więc punkt należy do wykresu.

Przykład 2 (czy to funkcja?). Zbiór par $\{(1,2),(2,4),(1,5)\}$ nie jest funkcją, bo argument $1$ ma dwie różne wartości: $2$ i $5$ .

Przykład 3 (tabela).

$x$	1	2	3
$f(x)$	4	4	7

To jest funkcja — różne argumenty mogą mieć tę samą wartość ( $f(1)=f(2)=4$ jest dozwolone).

Przykład 4 (przeciwdziedzina vs zbiór wartości). Niech $f:\{1,2,3\}\to\{0,1,2,3,4\}$ , przy czym $f(1)=2$ , $f(2)=2$ , $f(3)=4$ . Wtedy dziedzina $D$ , przeciwdziedzina $Y=\{0,1,2,3,4\}$ , ale zbiór wartości to tylko realnie osiągane: $W$ . Widać $W$ , lecz $W$ — przeciwdziedzina bywa większa niż zbiór wartości.

Mini-zadanie: dla $f(x)=2x+1$ sprawdź, czy $B=(3,8)$ leży na wykresie. Odpowiedź: nie, bo $f(3)=7\neq 8$ .

Sprawdź się — mini-check

Czy {(1,2),(2,4),(1,5)} jest funkcją?
Czy tabela x:1,2,3 / f(x):4,4,7 to funkcja?
f(x)=3x−2: czy punkt (5,13) leży na wykresie?
Czym różni się przeciwdziedzina od zbioru wartości?
Podaj W_f dla f:{1,2,3}→{0,1,2,3,4}, f(1)=2, f(2)=2, f(3)=4.
Wykres: jaką regułą sprawdzasz, czy to funkcja?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

Mylenie argumentu z wartością. Argument to $x$ (wejście), wartość to $f(x)$ (wynik).
„Różne $x$ muszą mieć różne $y$ ". FAŁSZ — różne argumenty mogą mieć tę samą wartość; funkcja wymaga tylko jednej wartości dla jednego argumentu.
Pomijanie dziedziny. Najpierw sprawdź, czy $x\in D$ — nie każdą liczbę wolno podstawić.
Przeciwdziedzina vs zbiór wartości. $W$ — zbiór wartości to tylko realnie osiągane wartości, nie cała przeciwdziedzina.
Punkt jako $(y,x)$ . Punkt wykresu zapisujemy $(x,\ f(x))$ — najpierw poziomo $x$ .
Brak testu pionowej prostej. Pionowa prosta nie może przeciąć wykresu funkcji w dwóch punktach.

Jak to wygląda na maturze?

Na poziomie podstawowym funkcja bardzo często pojawia się jako wykres: pytanie o dziedzinę, zbiór wartości, miejsce zerowe, wartość największą lub najmniejszą albo o $f(2)$ . Schemat odczytu: znajdź $x$ na osi poziomej → idź pionowo do wykresu → odczytaj $y$ z osi pionowej. Miejsca zerowe to punkty przecięcia z osią $OX$ .

Wskazówka maturalna: z wykresu najpierw czytaj $x$ (oś pozioma), potem $y$ (oś pionowa). Nie wymyślaj wzoru funkcji, jeśli zadanie wymaga tylko odczytu z wykresu.

Kluczowe pojęcia

Funkcja

Przyporządkowanie, które każdemu dozwolonemu x daje dokładnie jedną wartość y

Dziedzina

Zbiór argumentów x, które wolno wstawić do funkcji

Wartość funkcji

Wynik działania funkcji dla danego argumentu, czyli y albo f(x)

Wykres funkcji

Zbiór punktów (x,y), które pokazują wartości funkcji na układzie współrzędnych

Argument

Liczba x, którą podstawiasz do funkcji

Przeciwdziedzina

Zbiór, w którym szukamy możliwych wartości funkcji

Materiały ZPE

4 materiały

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Funkcja wymierna — dziedzina, asymptoty, wykres

Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%

1Po co Ci ten temat?
2Najważniejsza idea w prostych słowach
3Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
4Przykład rozwiązany
5Typowe pułapki i błędy
6Jak to wygląda na maturze?
Kluczowe pojęcia
Materiały ZPE

← Powrót do działu Następna lekcja →