NexTutor
Dział MAT.1.5›Trójkąty przystające i podobne — cechy i twierdzenie Talesa

Trójkąty przystające i podobne — cechy i twierdzenie Talesa

Klasa 1Podstawa + PRProporcje pokazują równoległość

Trójkąty przystające mają ten sam kształt i rozmiar, a podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć inną skalę. W zadaniach szukasz równych kątów, proporcji boków albo równoległych prostych z twierdzenia Talesa.

⏱ ~30 min
Trójkąty przystające i podobne — cechy i twierdzenie Talesa

Po co Ci ten temat?

Podobieństwo i przystawanie to geometria w wersji „rozpoznaj układ i użyj proporcji". Dzięki nim nie musisz znać wszystkich długości, żeby policzyć brakujący bok. Temat jest bardzo praktyczny: trójkąty, cienie, mapy, skala, wysokości, przekątne i zadania z równoległymi prostymi.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Trójkąty przystające są identyczne: odpowiadające boki równe i kąty równe (skala k=1k=1).

Trójkąty podobne mają ten sam kształt, ale inną skalę — odpowiadające boki są proporcjonalne:

a′a=b′b=c′c=k\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=k

Cechy przystawania trójkątów (odpowiednie boki/kąty równe, bez skali): bbb (trzy boki), bkb (bok–kąt–bok), kbk (kąt–bok–kąt).

Cechy podobieństwa trójkątów: bbb (boki proporcjonalne), bkb (dwa boki proporcjonalne i kąt między nimi równy), kąt-kąt (dwa kąty równe).

Zapis △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' koduje odpowiedniość wierzchołków: A↔A′A\leftrightarrow A', B↔B′B\leftrightarrow B', C↔C′C\leftrightarrow C', a stąd odpowiadają sobie boki AB↔A′B′AB\leftrightarrow A'B', BC↔B′C′BC\leftrightarrow B'C', AC↔A′C′AC\leftrightarrow A'C'. Kolejność liter w zapisie nie jest przypadkowa — najpierw ustal ją, dopiero potem pisz proporcje.

Twierdzenie Talesa. Gdy proste równoległe przecinają ramiona kąta, powstają proporcjonalne odcinki:

DE∥BC  ⇒  ADDB=AEECDE\parallel BC \;\Rightarrow\; \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Przystające vs podobne

skala decyduje

przystające
podobne
skala k = 1 (identyczne)
1
skala dowolna k > 0
boki równe, kąty równe
2
boki proporcjonalne, kąty równe

Przystające to szczególny przypadek podobnych (k=1). Przy podobieństwie boki NIE muszą być równe — mają być proporcjonalne.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

  1. Zaznacz trójkąty, które mogą być podobne albo przystające.
  2. Sprawdź kąty (wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające przy prostych równoległych często są równe).
  3. Ustal, które boki sobie odpowiadają.
  4. Zapisz proporcję boków i podstaw dane.
  5. Rozwiąż równanie i sprawdź sens (dłuższemu bokowi odpowiada dłuższy).
Wizualizacja· Trójkąty podobne — odpowiadające boki i skala
Dwa trójkąty podobne ABC i A′B′C′ z odpowiadającymi bokami i kątami oraz mini-panel Talesa DE∥BC
Trójkąty podobne — odpowiadające boki są proporcjonalne: AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′=k. Po prawej twierdzenie Talesa: DE∥BC → AD/DB=AE/EC.

Co zauważyć: Najpierw ustal, który bok odpowiada któremu, dopiero potem zapisuj proporcję. Skala k mówi, ile razy większy jest jeden trójkąt.

Przykład

Przykład rozwiązany

Dwa trójkąty podobne: w pierwszym boki 3,4,53,4,5; bok odpowiadający 33 w drugim ma długość 66. Oblicz bok odpowiadający 55. Skala k=63=2k=\tfrac{6}{3}=2, więc szukany bok to 5⋅2=105\cdot 2=10.

Mini-zadanie: trójkąty podobne w skali 33; bok 77 w mniejszym odpowiada bokowi xx w większym. Odpowiedź: x=21x=21.

Rozszerzenie PR — GEO.10: twierdzenie odwrotne do Talesa

Tales działa w jedną stronę (równoległość → proporcje). Twierdzenie odwrotne działa w drugą: z proporcji wnioskujemy równoległość:

ADDB=AEEC  ⇒  DE∥BC\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC} \;\Rightarrow\; DE\parallel BC
Infografika

GEO.10 — odwrotne Talesa: proporcje → równoległość

rozszerzenie: z ilorazów dowodzimy równoległości

1

Sprawdź konfigurację

dwa ramiona kąta przecięte dwiema prostymi

2

Policz ilorazy odcinków

AD/DB oraz AE/EC (na tych samych ramionach)

3

Porównaj ilorazy

równe → proste równoległe; różne → brak równoległości

4

Zapisz wniosek

AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC

Pamiętaj: Sama równość liczb nie wystarcza — musi być konfiguracja dwóch ramion kąta przeciętych dwiema prostymi.

Przykład. AD=3AD=3, DB=6DB=6, AE=4AE=4, EC=8EC=8. Liczymy: ADDB=36=12\tfrac{AD}{DB}=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2} oraz AEEC=48=12\tfrac{AE}{EC}=\tfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2}. Ilorazy równe, więc DE∥BCDE\parallel BC.

Kontrprzykład. AD=3AD=3, DB=6DB=6, AE=5AE=5, EC=8EC=8: 36≠58\tfrac{3}{6}\neq\tfrac{5}{8}, więc nie można stwierdzić równoległości.

Sprawdź się — mini-check (PP + PR)
  • PP: trójkąty podobne w skali 2, bok 7 → ile w większym?
  • PP: czym różni się przystawanie od podobieństwa?
  • PP (cechy): która cecha podobieństwa wymaga tylko dwóch równych kątów?
  • PP (cechy): wymień trzy cechy przystawania trójkątów.
  • PR (GEO.10): AD=3, DB=6, AE=4, EC=8 — czy DE∥BC?
  • PR (GEO.10): AD=3, DB=6, AE=5, EC=8 — czy DE∥BC?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

  • Proporcja bez sprawdzenia odpowiadających odcinków. Najpierw ustal, które boki sobie odpowiadają — zła kolejność odwraca wynik.
  • Mylenie przystawania z podobieństwem. Przystające mają skalę k=1k=1 (boki równe), podobne mają boki proporcjonalne.
  • Tales bez prostych równoległych. Tales wymaga DE∥BCDE\parallel BC — bez równoległości nie ma proporcji.
  • Odwrotne Talesa bez konfiguracji. Sama proporcja liczb nie wystarcza — muszą być dwa ramiona kąta przecięte dwiema prostymi.
  • Mieszanie ADDB\tfrac{AD}{DB} z ADAB\tfrac{AD}{AB}. Trzymaj jeden typ proporcji; obie wersje działają, ale nie wolno ich mieszać.
  • Brak wniosku w GEO.10. Po proporcji dopisz DE∥BCDE\parallel BC — celem jest dowód równoległości.

Jak to wygląda na maturze?

Często dostajesz rysunek z odcinkami i równoległymi prostymi, bez napisu „użyj Talesa" — musisz to rozpoznać. Schemat: wypatrz równoległe odcinki albo podobne trójkąty → zaznacz odpowiadające boki → ułóż proporcję → rozwiąż równanie → zapisz długość. W zadaniach dowodowych często wystarczy pokazać dwie pary równych kątów (cecha kąt-kąt).

Wskazówka maturalna: zanim napiszesz proporcję, ustal, który bok odpowiada któremu. A jeśli masz proporcje i pytają o równoległość — to GEO.10 (odwrotne Talesa).

Kluczowe pojęcia

Trójkąty przystające

Trójkąty o takim samym kształcie i rozmiarze; odpowiadające boki i kąty są równe

Trójkąty podobne

Trójkąty o takim samym kształcie; odpowiadające kąty są równe, a boki proporcjonalne

Skala podobieństwa

Liczba, przez którą mnożymy boki jednego trójkąta, żeby dostać odpowiadające boki drugiego

Odpowiadające boki

Boki leżące w tych samych miejscach w podobnych lub przystających figurach

Twierdzenie Talesa

Jeśli proste równoległe przecinają ramiona kąta, to wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne

Cecha kąt-kąt

Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego, to trójkąty są podobne

Materiały ZPE

4 materiały

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Twierdzenie Talesa∣AB∣∣BC∣=∣A′B′∣∣B′C′∣\dfrac{|AB|}{|BC|}=\dfrac{|A'B'|}{|B'C'|}

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Zadania wieloetapowe z planimetrii — trójkąty i czworokąty
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:11%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →