Nierówności kwadratowe — metoda graficzna i analityczna

Klasa 2PodstawaNierówność z wykresu

W nierówności kwadratowej same pierwiastki nie są odpowiedzią — one tylko dzielą oś na przedziały. Odpowiedź wybierasz po sprawdzeniu, gdzie parabola jest nad osią X albo pod osią X.

⏱ ~27 min

Nierówności kwadratowe — metoda graficzna i analityczna

Po co Ci ten temat?

Nierówności kwadratowe to jedno z najczęstszych miejsc utraty punktów. Uczeń potrafi policzyć deltę i pierwiastki, ale potem wybiera zły przedział, bo zapomina o ramionach paraboli. Temat jest algorytmiczny — jeśli trzymasz się kroków i szkicu, jest bezpieczny.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Nierówność kwadratowa to np. $ax^2+bx+c>0$ (albo $<0$ , $\ge 0$ , $\le 0$ ), gdzie $a\neq 0$ . Rozwiązujemy ją, sprawdzając, dla jakich $x$ wykres jest nad osią $OX$ ( $f(x)>0$ ), na osi ( $f(x)=0$ ) albo pod osią ( $f(x)<0$ ). Pierwiastki nie są końcem — są granicami przedziałów.

Tabela działa tylko dla $\Delta>0$ (dwa pierwiastki $x$ ):

Ramiona	$f(x)>0$	$f(x)<0$
$a>0$	$(-\infty,x$	$(x$
$a<0$	$(x$	$(-\infty,x$

Nawiasy: przy $\ge$ i $\le$ miejsca zerowe wchodzą (domknięte); przy $>$ i $<$ nie wchodzą (otwarte).

Trzy przypadki delty:

$\Delta>0$ — dwa miejsca zerowe (tabela powyżej).
$\Delta=0$ — jedno (styczność): np. $(x-2)^2\le 0$ daje $\{2\}$ , a $(x-2)^2<0$ daje $\varnothing$ .
$\Delta<0$ — brak miejsc zerowych: parabola cała nad osią ( $a>0$ ) albo cała pod ( $a<0$ ), więc rozwiązaniem bywa $\mathbb{R}$ albo $\varnothing$ .

Infografika

Nierówność kwadratowa — z wykresu, nie z pamięci

najpierw szkic paraboli

Sprowadź do jednej strony

ax²+bx+c ⪋ 0; sprawdź znak: > ≥ < ≤

Policz miejsca zerowe

rozwiąż ax²+bx+c=0 (delta)

Naszkicuj parabolę

oś X • pierwiastki i kierunek ramion (znak a)

Wybierz przedziały z wykresu

nad osią dla >; pod osią dla <

Dobierz nawiasy

≥ ≤ domknięte (zera wchodzą); > < otwarte

Pamiętaj: Nie wybieraj przedziału z pamięci — wybierz go z wykresu. Przy Δ=0 lub Δ<0 myśl przez znak całej paraboli (może wyjść R albo ∅).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Doprowadź nierówność do postaci $ax^2+bx+c \gtrless 0$ (znak $>$ , $\ge$ , $<$ albo $\le$ ).
Policz miejsca zerowe, rozwiązując $ax^2+bx+c=0$ .
Naszkicuj parabolę: oś $X$ , pierwiastki, kierunek ramion.
Zaznacz, gdzie wykres jest nad osią $X$ , a gdzie pod nią.
Dobierz przedziały zgodnie ze znakiem nierówności.
Nawiasy: $\ge,\le$ → domknięte; $>,<$ → otwarte.

Parabola y=x²−5x+6 z miejscami zerowymi 2 i 3, fragmenty nad osią OX i oś liczbowa z przedziałami rozwiązania — Dla x²−5x+6>0 zaznaczamy fragmenty paraboli NAD osią OX. Miejsca zerowe 2 i 3 dają x∈(−∞,2)∪(3,∞).

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 ( a 0 , 0 ). Rozwiąż x^2-5x+6 0 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Zawsze przedział między pierwiastkami. Zależy od znaku a i znaku nierówności — ramiona decydują, gdzie wykres jest nad/pod osią.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Nierówność kwadratowa często jest warunkiem : dziedzina funkcji, dodatniość pola albo warunek istnienia rozwiązania. Schemat: wyznacz pierwiastki → rozpoznaj znak trójmianu na przedziałach → zapisz wynik jako przedział albo sumę przedziałów.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość