Nierówności wielomianowe — metoda przedziałów

Klasa maturalnaMatura PRSiatka znaków

Nierówność wielomianowa to nie jest tylko znalezienie pierwiastków. Pierwiastki dzielą oś na przedziały, a odpowiedź wybierasz dopiero po sprawdzeniu znaku wielomianu na każdym przedziale.

⏱ ~32 min

Nierówności wielomianowe — metoda przedziałów

Co CKE najczęściej sprawdza?

W nierównościach wielomianowych chodzi o przejście od pierwiastków do znaku funkcji. Znalezienie miejsc zerowych to dopiero połowa zadania — trzeba wybrać właściwe przedziały.

Typowo: rozwiąż $W(x)>0$ , $W(x)\ge0$ , $W(x)<0$ , $W(x)\le0$ ; odczytaj przedziały dodatniości/ujemności; uwzględnij pierwiastki podwójne. Poziom: wejście PP (kontynuacja nierówności kwadratowych), główny PR (krotność, złożone rozkłady).

Metoda przedziałów — schemat

Przenieś wszystko na jedną stronę ( $W(x)\ \square\ 0$ ).
Rozłóż $W(x)$ na czynniki.
Znajdź miejsca zerowe i ich krotności.
Uporządkuj pierwiastki rosnąco na osi.
Zrób siatkę znaków albo testuj liczbą z każdego przedziału.
Wybierz przedziały zgodnie ze znakiem nierówności.
Dla $\le,\ge$ dodaj miejsca zerowe; dla $<,>$ ich nie dodawaj.

Oś z pierwiastkami -2, 1, 4; znak W na przedziałach −/+/−/+; rozwiązanie W(x)≥0 to [-2,1]∪[4,∞) z domkniętymi końcami — (x−1)(x+2)(x−4)≥0: ustaw pierwiastki rosnąco (−2,1,4), ustal znak W na każdym przedziale, wybierz dodatnie. Dla ≥ końce należą → [−2,1]∪[4,∞).

Słownictwo

Reguła krotności (klucz na PR)

Dla czynnika $(x-a)^m$ :

$m$ nieparzyste → znak wielomianu zmienia się przy $a$ ,
$m$ parzyste → znak się nie zmienia (parabola „dotyka" osi).

Krotność	Przy przejściu przez $a$
pojedyncza $(x-a)$	znak się zmienia
podwójna $(x-a)^2$	znak bez zmiany
potrójna $(x-a)^3$	znak się zmienia

Przykład

Przykład 1 — pierwiastki pojedyncze

(x-1)(x+2)(x-4)\ge0 . Miejsca zerowe (rosnąco): -2,1,4 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — pierwiastek podwójny

(x+1)^2(x-3)<0 . Miejsca zerowe: x=-1 ( krotność 2 ), x=3 (krotność 1).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Uwaga

Przykład 3 — ujemny współczynnik wiodący (uwaga na znak!)

-(x+2)(x-1)^2(x-3)\le0 . Miejsca zerowe: -2 , 1 ( krotność 2 ), 3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Pierwiastki jako odpowiedź. Nierówność pyta o znak — odpowiedzią są przedziały .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: rozłóż na czynniki, ustaw pierwiastki rosnąco, ustal znak na przedziałach z uwzględnieniem krotności , wybierz przedziały po znaku i dobierz nawiasy ( <, otwarte, \le,\ge domknięte w pierwiastkach).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość