NexTutor
Dział MAT.2.2›Wielomiany — stopień, działania i wzory skróconego mnożenia (II)

Wielomiany — stopień, działania i wzory skróconego mnożenia (II)

Klasa 2PodstawaWielomiany i wzory

Wielomian to wyrażenie z potęgami zmiennej o wykładnikach naturalnych, np. 3x³−2x+5. W zadaniach najpierw porządkujesz wyrazy, pilnujesz stopnia, a dopiero potem dodajesz, mnożysz albo używasz wzorów skróconego mnożenia.

⏱ ~25 min
Wielomiany — stopień, działania i wzory skróconego mnożenia (II)

Po co Ci ten temat?

Wielomiany to algebraiczny język funkcji kwadratowej, równań i późniejszych zadań maturalnych. Jeśli umiesz je porządkować i wykonywać działania bez gubienia znaków, równania, nierówności i rozkłady na czynniki robią się dużo prostsze. To nie teoria do wkucia, lecz sprawny warsztat: rozpoznaj stopień, uporządkuj wyrazy, wykonaj działanie i sprawdź wynik.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej zapisujemy:

W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0,an≠0, n∈N∪{0}W(x)=anx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a1x+a0,\qquad an\neq 0,\ n\in\mathbb{N}\cup\{0\}

Stopień wielomianu to największy wykładnik przy niezerowym współczynniku — np. W(x)=4x3−2x2+7x−1W(x)=4x^3-2x^2+7x-1 ma stopień 33.

Wielomian zerowy W(x)=0W(x)=0 nie ma określonego stopnia (to coś innego niż wielomian stopnia 00, czyli stała różna od zera).

ElementCo oznacza
4x34x^3wyraz stopnia 33
−2x2-2x^2wyraz stopnia 22
7x7xwyraz stopnia 11
−1-1wyraz wolny

Wzory skróconego mnożenia (II):

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a−b)2=a2−2ab+b2,(a−b)(a+b)=a2−b2(a+b)^2=a2+2ab+b2,\qquad (a-b)^2=a2-2ab+b2,\qquad (a-b)(a+b)=a2-b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a+b)^3=a3+3a^2b+3ab^2+b3,\qquad (a-b)^3=a3-3a^2b+3ab^2-b3

Rozwiń nawiasy vs użyj wzoru

wzór skróconego mnożenia oszczędza czas i błędy

rozwiń „na piechotę"
wzór skróconego mnożenia
każdy z każdym (cztery mnożenia)
1
gotowy schemat: (a±b)², a²−b²
łatwo zgubić znak albo środek
2
szybciej rozpoznać i zapisać

Gdy widzisz (a±b)² albo (a−b)(a+b), użyj wzoru. Nie zapomnij środkowego 2ab.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Infografika

Od wyrażenia do uporządkowanego wielomianu

stopień określasz NA KOŃCU

1

Usuń nawiasy

przy minusie zmień znak każdego składnika: −(a−b)=−a+b

2

Użyj wzoru, jeśli pasuje

(a±b)² • (a−b)(a+b) zamiast mnożenia na piechotę

3

Pomnóż, gdy wzoru nie ma

każdy wyraz przez każdy

4

Zredukuj wyrazy podobne

połącz te same potęgi x

5

Dopiero teraz określ stopień

najwyższe potęgi mogą się skrócić

Pamiętaj: Stopień sprawdzamy PO redukcji — dwa składniki x³ mogą się znieść i stopień spadnie.

Wizualizacja· Stopień po redukcji
Schemat "Stopień po redukcji" — przykład (3x³−2x+1)−(3x³+x²−5): po usunięciu nawiasów i redukcji wyrazów podobnych zostaje −x²−2x+6, więc stopień wyniku to 2, mimo że na początku widać x³; po redukcji stopień może zostać taki sam, spaść albo spaść do 0 (wielomian zerowy)
Stopień wielomianu sprawdzamy dopiero po uproszczeniu — najwyższe potęgi mogą się skrócić. Tu dwa składniki x³ znoszą się, więc stopień spada z pozornego 3 do 2.

Co zauważyć: Nie oceniaj stopnia „na oko" — najpierw usuń nawiasy i zredukuj wyrazy podobne, dopiero potem ustal najwyższą potęgę.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1. Uprość (2x-3)^2+(x+4)(x-4) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Określanie stopnia przed redukcją. Stopień sprawdzamy po uproszczeniu — najwyższe potęgi mogą się skrócić (np.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Ten temat zwykle jest ukryty w środku zadania: dostajesz równanie, funkcję albo zadanie tekstowe, a pierwszym krokiem jest uproszczenie wielomianu. CKE sprawdza, czy umiesz rozwinąć nawiasy, użyć wzorów skróconego mnożenia, zredukować wyrazy podobne, rozpo…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Wielomian

Wyrażenie zbudowane z sumy wyrazów typu axⁿ, gdzie n jest liczbą naturalną albo zerem

Stopień wielomianu

Najwyższa potęga zmiennej x, przy której współczynnik nie jest zerem

Wyraz wolny

Liczba bez x, czyli wyraz stopnia 0

Wyrazy podobne

Wyrazy z taką samą potęgą x, które można dodać albo odjąć

Wzory skróconego mnożenia

Gotowe schematy, które pozwalają szybciej rozwijać albo zwijać nawiasy

Różnica kwadratów

Wzór (a−b)(a+b)=a²−b², bardzo często używany przy rozkładzie na czynniki

Materiały ZPE

4 materiały

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Wzory skróconego mnożenia i wyrażenia algebraiczne
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Powrót do działuNastępna lekcja →