Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.2.2›Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta — pierwiastki wielomianu

Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta — pierwiastki wielomianu

Klasa 2RozszerzenieHorner i Bézout

Schemat Hornera to szybki sposób dzielenia wielomianu przez dwumian x−a. Twierdzenie Bézouta mówi: liczba a jest pierwiastkiem wielomianu dokładnie wtedy, gdy reszta z dzielenia przez x−a wynosi 0.

⏱ ~26 min

Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta — pierwiastki wielomianu

Po co Ci ten temat?

Gdy w zadaniu pojawia się wielomian trzeciego albo czwartego stopnia, zgadywanie i mnożenie robi się męczące. Schemat Hornera pozwala szybko sprawdzić, czy dana liczba jest pierwiastkiem, a potem obniżyć stopień wielomianu. To temat techniczny, ale na sprawdzianie daje konkretne punkty — dobrze ustawiona tabelka Hornera potrafi rozwiązać połowę zadania.

Przykład

Najważniejsza idea w prostych słowach

Twierdzenie o reszcie. Reszta z dzielenia $W(x)$ przez dwumian $x-a$ jest równa wartości wielomianu w punkcie $a$ :

R=W(a)

Pełny zapis dzielenia przez dwumian: $W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$ , gdzie $Q(x)$ to iloraz, a reszta jest stałą równą $W(a)$ .

Twierdzenie Bézouta. Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(x)$ dzieli się przez $x-a$ bez reszty:

W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)

Schemat Hornera wykonuje to dzielenie (przez dwumian postaci $x-a$ ) szybciej niż dzielenie pisemne i od razu daje iloraz.

Dwie zasady techniczne:

dzielisz przez $x+3$ ? wpisz $a=-3$ , bo $x+3=x-(-3)$ ;
brakuje jakiejś potęgi? wpisz współczynnik $0$ (np. $x$ ).

Schemat pojęć

Bézout: pierwiastek → czynnik

od wartości do rozkładu

W(a) = 0

liczba a jest pierwiastkiem wielomianu

↓

x − a jest czynnikiem

W(x) dzieli się przez x−a bez reszty

↓

obniż stopień (Horner)

iloraz to wielomian o stopień niższy

↓

rozkładaj dalej

aż do trójmianu kwadratowego albo czynników liniowych

Zapamiętaj: Reszta z dzielenia przez x−a to W(a). Stąd W(a)=0 ⟺ (x−a) dzieli W(x).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Infografika

Schemat Hornera krok po kroku

dzielimy przez dwumian x−a

Ustal a z dzielnika

x−a → a; uwaga: x+3 → a=−3

Wypisz współczynniki (z zerami)

brakująca potęga → wpisz 0

Przepisz pierwszy, mnóż przez a i dodawaj

powtarzaj aż do końca wiersza

Ostatnia liczba to reszta

reszta=0 → x−a jest czynnikiem

Pozostałe liczby = iloraz

obniżasz stopień i rozkładasz dalej

Pamiętaj: Ostatnia liczba to RESZTA, a nie pierwiastek. Pierwiastek to liczba a wpisana po lewej stronie schematu.

Tabela Hornera dla W(x)=x³−4x²+x+6 przy a=2, z wierszem reszty równej 0 i ilorazem x²−2x−3 — Schemat Hornera dla W(x)=x³−4x²+x+6 (a=2): ostatnia liczba to reszta (tu 0), pozostałe to współczynniki ilorazu x²−2x−3.

Przykład

Przykład rozwiązany

Sprawdź, czy 2 jest pierwiastkiem W(x)=x^3-4x^2+x+6 . Współczynniki: 1,\,-4,\,1,\,6 , dzielimy przez x-2 (czyli a=2 ): \begin{array}{c rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & 2 & -4 & -6\\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array} Reszta to 0 , więc 2 jest pierwiastkiem…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Dzielenie przez x+3 i wpisanie 3 . Wpisujemy -3 , bo x+3=x-(-3) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Na rozszerzeniu Horner pojawia się najczęściej jako narzędzie do rozkładu wielomianu: wykaż, że liczba jest pierwiastkiem, rozłóż wielomian na czynniki albo rozwiąż równanie wielomianowe. Punkty zdobywasz za poprawne podstawienie a , pełną tabelkę, zauważe…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość