Sinus, cosinus, tangens — definicje i wartości dla 30°, 45°, 60°

Klasa 2PodstawaTrygonometria w trójkącie

Trygonometria kąta ostrego to szybki sposób na zamianę kątów na proporcje boków w trójkącie prostokątnym. Jeśli dobrze podpiszesz przeciwprostokątną, przyprostokątną naprzeciw kąta i przyprostokątną przy kącie, wzory robią się prawie mechaniczne.

⏱ ~26 min

Sinus, cosinus, tangens — definicje i wartości dla 30°, 45°, 60°

Po co Ci ten temat?

Trygonometria zaczyna się od praktycznego pytania: jak obliczyć bok trójkąta, gdy znam tylko jeden bok i kąt? Albo jak znaleźć kąt, gdy znam dwa boki? W zadaniach maturalnych zwykle nie chodzi o dowód, tylko o szybkie rozpoznanie: mam trójkąt prostokątny i kąt ostry, więc mogę użyć sinusa, cosinusa albo tangensa.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Te definicje dotyczą kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym ( $0^\circ<\alpha<90^\circ$ ). Funkcja trygonometryczna to stosunek dwóch boków względem wybranego kąta $\alpha$ . Najpierw podpisz boki:

Bok	Co oznacza
przeciwprostokątna	najdłuższy bok, leży naprzeciw kąta prostego
przyprostokątna naprzeciw $\alpha$	bok po drugiej stronie kąta $\alpha$
przyprostokątna przy $\alpha$	bok dotykający kąta $\alpha$ (nie przeciwprostokątna)

\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{przy }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw }\alpha}{\text{przy }\alpha},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\text{przy }\alpha}{\text{naprzeciw }\alpha}

Najważniejsze wartości (warto znać na pamięć):

$\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$	$\operatorname{ctg}\alpha$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$\sqrt3$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt3$	$\frac{\sqrt3}{3}$

Trójkąt prostokątny z kątem α, bokiem naprzeciw, bokiem przy i przeciwprostokątną oraz trójkąty specjalne 30-60-90 i 45-45-90 z wartościami funkcji — Funkcje trygonometryczne to stosunki boków względem kąta α. Po prawej trójkąty specjalne 30°–60°–90° i 45°–45°–90°, z których odczytujemy wartości sin, cos i tg.

Infografika

Którą funkcję wybrać?

najpierw podpisz boki względem kąta α

Zaznacz kąt ostry α

kąt prosty ma naprzeciw siebie przeciwprostokątną

Podpisz trzy boki

naprzeciw α • przy α • przeciwprostokątna

Przeciwprostokątna + naprzeciw → sin

sin α = naprzeciw / przeciwprostokątna

Przeciwprostokątna + przy → cos

cos α = przy / przeciwprostokątna

Dwie przyprostokątne → tg / ctg

tg α = naprzeciw / przy

Pamiętaj: Na maturze 3 ruchy: zaznacz kąt → podpisz boki (naprzeciw/przy/przeciwprostokątna) → dobierz funkcję łączącą dane i szukaną. To ważniejsze niż wkucie tabeli.

Słownictwo

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Szybki wybór funkcji (dla słabszych — zacznij od tego):

Mam dane	Szukam	Użyj
przeciwprostokątna + bok naprzeciw $\alpha$	jeden z nich	$\sin$
przeciwprostokątna + bok przy $\alpha$	jeden z nich	$\cos$
dwa boki przyprostokątne	jeden z nich	$\operatorname{tg}$ albo $\operatorname{ctg}$

Sprawdź, czy masz trójkąt prostokątny.
Zaznacz kąt ostry $\alpha$ , względem którego liczysz.
Podpisz trzy boki: przeciwprostokątna, bok naprzeciw $\alpha$ , bok przy $\alpha$ .
Wybierz funkcję łączącą dane i szukaną: $\sin$ , $\cos$ albo $\operatorname{tg}$ .
Podstaw liczby i rozwiąż proste równanie.
Sprawdź sens wyniku — przeciwprostokątna powinna być najdłuższa.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (sinus). Kąt \alpha=30^\circ , przeciwprostokątna 10 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Podpisanie boków względem złego kąta. Ten sam bok bywa „naprzeciw” jednego kąta i „przy” drugiego — podpisuj względem wybranego \alpha .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Na PP zwykle dostajesz trójkąt, wysokość albo rysunek pomocniczy, a zadanie sprowadza się do trzech ruchów: dorysuj/zauważ trójkąt prostokątny → wybierz \sin , \cos albo \operatorname{tg} → oblicz brakujący bok lub kąt. CKE lubi sytuacje, w których najpier…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość