Trygonometria w zadaniach geometrycznych — pola i odległości

Klasa 2PodstawaPola z sinusem

W geometrii trygonometria najczęściej służy do znalezienia wysokości, odległości albo pola. Najważniejszy trik: gdy widzisz kąt i dwa boki, sprawdź wzór P=1/2·a·b·sin γ albo dorysuj wysokość i użyj sin/cos/tg.

⏱ ~26 min

Trygonometria w zadaniach geometrycznych — pola i odległości

Po co Ci ten temat?

W zadaniach z geometrii rzadko ktoś napisze wprost „użyj tangensa". Częściej dostajesz romb, równoległobok, trapez, dach, cień albo odległość — a sam musisz zobaczyć trójkąt prostokątny lub wzór z sinusem. To lekcja o tym, jak zamienić rysunek na konkretny rachunek.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Trygonometria w geometrii robi zwykle jedną z trzech rzeczy: liczy wysokość, odległość albo pole.

Najważniejszy wzór — pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi:

P_{\triangle}=\tfrac{1}{2}\,ab\sin\gamma,\qquad a,b>0,\quad 0^\circ<\gamma<180^\circ

gdzie $\gamma$ to kąt zawarty między bokami $a$ i $b$ .

Trójkąt z bokami a, b i kątem γ między nimi, pole wyróżnione — wzór P=½ab·sinγ — Pole trójkąta z dwóch boków i kąta MIĘDZY nimi: P=½·a·b·sinγ. Kąt γ musi leżeć między bokami a i b.

Ten sam pomysł rozszerza się na czworokąty:

P_{\text{równoległoboku}}=ab\sin\gamma,\qquad P_{\text{rombu}}=a

Figura / sytuacja	Wzór / co robisz
trójkąt: dwa boki i kąt między nimi	$P=\tfrac12 ab\sin\gamma$
równoległobok: boki i kąt	$P=ab\sin\gamma$
romb: bok i kąt	$P=a$
wysokość w trójkącie	dorysuj trójkąt prostokątny: $h=b\sin\alpha$
odległość pod kątem	rozbij na składową poziomą i pionową

Trzy figury — trójkąt P=½ab·sinγ, równoległobok P=ab·sinγ, romb P=a²·sinγ — Ten sam pomysł, różne figury: trójkąt ½ab·sinγ, równoległobok ab·sinγ (dwa trójkąty), romb a²·sinγ (bo a=b).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Zrób rysunek większy niż w treści; zaznacz dane długości i kąty.
Sprawdź, czy da się dorysować wysokość i uzyskać trójkąt prostokątny.
Szukasz pola i masz dwa boki + kąt między nimi → $P=\tfrac12 ab\sin\gamma$ .
Równoległobok/romb → $P=ab\sin\gamma$ lub $P=a$ (pamiętaj: $h=b\sin\gamma$ ).
Podstaw wartości $\sin$ dla $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ lub wartość z zadania.
Sprawdź jednostki: długość w cm, pole w cm².

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (równoległobok). Boki 6 i 10 , kąt między nimi 30^\circ : P=ab\sin\gamma=6\cdot10\cdot\sin 30^\circ=60\cdot\tfrac{1}{2}=30 Przykład 2 (trójkąt).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Kąt nie między bokami. P=\tfrac12 ab\sin\gamma wymaga, by \gamma był zawarty między bokami a i b .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Zadanie bywa ukryte w planimetrii — słowo „trygonometria" nie pada. Sygnały: podany kąt 30^\circ/45^\circ/60^\circ albo wartość \sin/\cos , trzeba policzyć pole, wysokość lub odległość w trójkącie, trapezie, rombie czy równoległoboku.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość