Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta — okrąg jednostkowy

Kąt rozpatrujemy w położeniu standardowym: wierzchołek w początku układu $(0,0)$, ramię początkowe na dodatniej półosi $OX$, a ramię końcowe wyznacza punkt $P=(x,y)$ na okręgu jednostkowym (środek $(0,0)$, promień $1$, czyli $x2+y2=1$).

Funkcje trygonometryczne są wtedy współrzędnymi tego punktu:

$$\cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}\ \ (x\neq 0)$$

Wizualizacja· Sinus to y, cosinus to x

Co zauważyć: cos α = współrzędna x, sin α = współrzędna y punktu na okręgu jednostkowym.

Warunek tangensa: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ istnieje tylko, gdy $\cos\alpha\neq 0$ (czyli $x\neq0$), więc nie dla kątów:

$$\alpha=90^\circ+180^\circ k,\qquad \text{czyli}\qquad \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

Znaki funkcji w ćwiartkach:

Wizualizacja· Znaki funkcji w ćwiartkach

Co zauważyć: Najpierw znak (z ćwiartki), potem wartość (z kąta odniesienia).

Kąt odniesienia to ostry kąt między ramieniem kąta a osią $x$. Wartość funkcji bierzesz z kąta odniesienia, a znak z ćwiartki — np. dla $150^\circ$ kąt odniesienia to $30^\circ$.

Wizualizacja· Kąt odniesienia

Co zauważyć: Wartość bierzesz z kąta odniesienia (ostrego), a znak z ćwiartki.

Złota zasada. Wartość liczbową bierzesz z kąta odniesienia, a znak z ćwiartki. Kąt odniesienia daje tylko wartość bezwzględną — o plusie lub minusie decyduje ćwiartka.