Pole obszaru między wykresami funkcji — zastosowania

Pole między wykresami to suma pionowych odległości między funkcjami — dlatego zawsze odejmujesz funkcję dolną od górnej.

Jeśli na przedziale $[a,b]$ funkcja $f$ jest wyżej niż $g$ (czyli $f(x)\ge g(x)$):

$$P=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx \qquad(\text{górna} - \text{dolna})$$

Największy błąd: uczeń zaczyna całkować, zanim ustali granice i kolejność funkcji. Zakładamy przy tym, że $f,g$ są ciągłe na $[a,b]$, a obszar jest zamknięty — ograniczony wykresami (przez punkty przecięcia) albo dodatkowo prostymi $x=a$, $x=b$. Granice całkowania biorą się więc z przecięć $f(x)=g(x)$ lub z zadanych prostych; nawet przy zadanych granicach sprawdź, czy funkcje nie przecinają się wewnątrz przedziału (wtedy rozbij).

📐 Wzór ogólny: $P=\displaystyle\int_a^b\bigl\lvert f(x)-g(x)\bigr\rvert\,dx$ — wartość bezwzględna gwarantuje, że pole jest dodatnie niezależnie od kolejności funkcji.

✅ W praktyce: gdy na przedziale znasz kolejność ($f(x)\ge g(x)$), opuszczasz moduł: $P=\displaystyle\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx=\int_a^b(\text{górna}-\text{dolna})\,dx$. Przy zmianie kolejności — rozbij przedział.

Pole pod funkcją vs pole między dwiema:

Wizualizacja· Pole między wykresami: górna minus dolna

Co zauważyć: P = ∫ (górna − dolna) dx. Nie całkuj, zanim nie ustalisz kolejności funkcji na przedziale.