Całka — pole obszaru między wykresami

Klasa maturalnaMateriał dodatkowyPole z całkiPoza zakresem CKE

Całka oznaczona w zadaniach o polu działa jak uporządkowana suma wysokości wykresu na przedziale. Najważniejszy schemat to znaleźć punkty przecięcia, ustalić która funkcja jest wyżej i policzyć całkę z różnicy: górna minus dolna.

⏱ ~29 min

Całka — pole obszaru między wykresami (materiał dodatkowy)

Słownictwo

Po co Ci ten temat?

Całka oznaczona pozwala policzyć pole obszaru pod wykresem albo między dwoma wykresami. Nie trzeba opowiadać historii rachunku całkowego — wystarczy wybrać przedział, ustalić funkcję górną i dolną, i policzyć całkę.

Sytuacja	Schemat
pole pod wykresem $f$ nad osią $OX$	$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ , gdy $f(x)\ge0$
pole między wykresami	$\displaystyle\int_a^b \big(\text{górna}-\text{dolna}\big)\,dx$
funkcja pierwotna	jeśli $F'(x)=f(x)$ , to $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$
całka oznaczona	$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Schemat rozwiązania zadania

Infografika

Jak policzyć pole między wykresami

Naszkicuj obszar

które wykresy go ograniczają?

Punkty przecięcia

rozwiąż f(x)=g(x) — to granice całkowania

Która funkcja wyżej?

podstaw punkt testowy z przedziału

Zapisz całkę

P = całka z (górna − dolna) dx

Policz F(b) − F(a)

znajdź funkcję pierwotną • podstaw granice

Sprawdź znak

pole musi być dodatnie

Układ współrzędnych z prostą y=x i parabolą y=x² przecinającymi się w punktach (0,0) i (1,1), zacieniowany obszar między nimi na przedziale [0,1], pionowy pasek pokazujący wysokość górna minus dolna oraz wynik P=1/6 — Obszar między y=x a y=x² na [0,1] to całka z różnicy (górna − dolna). Wysokość paska w każdym punkcie to górna funkcja minus dolna; suma pasków daje pole P=1/6.

Przykład

Przykład główny — pole między $y=x$ a $y=x^2$

Punkty przecięcia: $x=x$ .

Która wyżej? Dla $x=\tfrac12$ : $f(\tfrac12)=\tfrac12 > g(\tfrac12)=\tfrac14$ , więc wyżej jest $f(x)=x$ .

P=\int_0^1 (x-x

Przykład

Kontrprzykład — uważaj, która funkcja górna

Dla tych samych f(x)=x^2 , g(x)=x na [0,1] funkcją górną jest g(x)=x , więc: P=\int 0^1 (x-x^2)\,dx=\frac16 \quad(\text{poprawnie}),\qquad \int 0^1 (x^2-x)\,dx=-\frac16 \quad(\text{błąd — pole nie jest ujemne})

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład — całka zorientowana $\neq$ pole

f(x)=x na [-1,1] . Całka (zorientowana): \int {-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right] {-1}^{1}=\frac12-\frac12=0 Ale pole geometryczne (część pod osią też liczona dodatnio): P=\int {-1}^{0}(-x)\,dx+\int {0}^{1}x\,dx=\frac12+\frac12=1 ⚠️ Całka może wyjść 0…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy

- \int(\text{dolna}-\text{górna})\,dx → wynik ujemny. Pole jest dodatnie: całkuj górna - dolna.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Domknięcie

To materiał rozszerzający poza maturę . Kluczowa idea: pole między wykresami to całka z różnicy funkcji (górna - dolna) na przedziale wyznaczonym przez ich punkty przecięcia.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość