Schemat Bernoulliego i zastosowania w zadaniach

Klasa 4RozszerzenieSchemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego opisuje serię takich samych prób, w których interesuje nas liczba sukcesów. Jeśli próby są niezależne i każda ma to samo prawdopodobieństwo sukcesu, używasz wzoru z kombinacjami.

⏱ ~33 min

Schemat Bernoulliego i zastosowania w zadaniach

Po co Ci ten temat?

Wiele zadań typu „dokładnie 3 razy", „co najmniej 2 sukcesy", „ani razu", „przynajmniej raz" rozwiążesz jednym schematem zamiast wypisywać setki przypadków. Intuicja jest prosta: powtarzasz tę samą próbę kilka razy i liczysz, ile razy udał się sukces.

Poziom: rozszerzenie. Najpierw rozpoznanie zadania, potem wzór.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Schemat Bernoulliego działa, gdy spełnione są cztery warunki: (1) $n$ powtórzeń tej samej próby; (2) każda próba ma dwa wyniki — sukces lub porażka; (3) próby są niezależne; (4) prawdopodobieństwo sukcesu $p$ jest stałe. Wtedy:

P(X=k)=\binom{n}{k}p

$\binom{n}{k}$ — na ile sposobów sukcesy mogą rozłożyć się wśród prób,
$p$ — $k$ sukcesów, $(1-p)^{n-k}$ — $n-k$ porażek.

Trzy sekcje — warunki schematu Bernoulliego (stała liczba prób n, dwa wyniki sukces/porażka, stałe p, niezależność), zmienna X ~ B(n,p) jako liczba sukcesów w serii prób, oraz sens wzoru P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) z rozbiciem na czynniki — Najpierw sprawdź cztery warunki (stałe n, dwa wyniki, niezależność, stałe p), potem nazwij zmienną X ~ B(n,p) = liczba sukcesów, a wzór P(X=k) rozbij na: C(n,k) układy, p^k sukcesy, (1−p)^(n−k) porażki.

⚠️ Kiedy to NIE jest Bernoulli

Przy losowaniu bez zwracania prawdopodobieństwo sukcesu zwykle się zmienia między próbami — wtedy schemat Bernoulliego nie działa. Zawsze sprawdź niezależność i stałe $p$ .

Słownictwo

Typ pytania → zapis

Treść zadania Zapis --- --- dokładnie k sukcesów P(X=k) co najmniej k sukcesów P(X\ge k) co najwyżej k sukcesów P(X\le k) przynajmniej jeden sukces 1-P(X=0) ani jednego sukcesu P(X=0)

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Sprawdź cztery warunki Bernoulliego.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (dokładnie k ). Moneta, n=5 , k=2 orły, p=\tfrac12 : P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\tfrac12\right)^2\left(\tfrac12\right)^3=10\cdot\tfrac{1}{32}=\frac{5}{16} Przykład 2 (rzuty).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Pominięty \binom{n}{k} . Bez niego liczysz jeden konkretny układ — \binom{n}{k} liczy, na ile sposobów sukcesy mogą wypaść.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

CKE ukrywa Bernoulliego w zdaniach: test z kilkoma pytaniami (stałe p ), zawodnik wykonuje próby, urządzenie działa/nie działa, losowanie ze zwracaniem , wielokrotny rzut. Sygnały: „dokładnie k razy", „co najmniej k ", „w n próbach", „każda próba niezależn…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość