NexTutor
Dział MAT.M.10›Procent składany i zadania tekstowe z ciągami

Procent składany i zadania tekstowe z ciągami

Klasa maturalnaMatura PPMnożnik procentowyCiąg geometryczny w treści

Procent składany to w praktyce ciąg geometryczny: każda kolejna wartość jest mnożona przez ten sam współczynnik. W zadaniach tekstowych najpierw zamieniasz procent na mnożnik, a dopiero potem liczysz kolejne lata, raty albo etapy.

⏱ ~36 min
Procent składany i zadania tekstowe z ciągami

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

CKE lubi zadania, w których ciąg nie jest nazwany: lokata, spadek wartości, wzrost użytkowników, inflacja, dopłaty. Twoje zadanie: zobaczyć, że pod spodem działa ciąg.

TreśćMatematyka pod spodem
co roku wzrost o 5%5\%×1,05\times1{,}05 (ciąg geometryczny)
co roku spadek o 12%12\%×0,88\times0{,}88 (ciąg geometryczny)
oprocentowanie składaneciąg geometryczny
każda rata większa o tę samą kwotęciąg arytmetyczny
stała dopłata co miesiącsuma rat (arytmetyczny), nie procent składany

Poziom: matura podstawowa; wiele okresów kapitalizacji + logarytm („po ilu okresach?") to PR bridge.

Wzory procentu składanego

Kn=K0(1+p)n(wzrost),Kn=K0(1−p)n(spadek)Kn=K0(1+p)^n \quad(\text{wzrost}),\qquad Kn=K0(1-p)^n \quad(\text{spadek})

gdzie pp to ułamek dziesiętny (4%=0,044\%=0{,}04). Zapisując zmianę jako mnożnik qq, oba przypadki to jeden wzór:

Kn=K0 qnKn=K0\,qn

Mnożnik q>1q>1 → wzrost (np. 1,041{,}04); 0<q<10<q<1 → spadek (np. 0,880{,}88). Przy kapitalizacji mm razy w roku przez nn lat:

K=K0(1+pm)mnK=K0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}

We wzorze kapitalizacyjnym pp to stopa roczna. Przy kapitalizacji miesięcznej m=12m=12: miesięczny mnożnik to 1+p121+\tfrac{p}{12}, a wykładnik to 12n12n (gdy podano od razu stopę miesięczną, użyj jej wprost).

Procentów składanych nie dodajemy. 33 lata po 4%4\% to K0⋅1,043K0\cdot1{,}04^3, a nie K0⋅(1+0,12)K0\cdot(1+0{,}12) — odsetki pracują dalej w kolejnym okresie.

Wizualizacja· Mnożnik powtarza się w każdym okresie
Sekwencja kwot K0 5000, K1 5250, K2 5512,50, K3 5788,13 połączona strzałkami ×1,05, mnożnik mini-tabela (+6%→1,06, −25%→0,75, +0,5%→1,005) i uwaga o stałej kwocie jako ciągu arytmetycznym
Procent składany to ciąg geometryczny: każdy okres mnożysz przez ten sam mnożnik q. K3 = K0·1,05³ — procentów nie dodajemy. Stała kwota co okres to z kolei ciąg arytmetyczny.

Co zauważyć: Zmianę procentową zamieniasz na mnożnik i potęgujesz; stała dopłata (+r) to inny model (arytmetyczny).

Schemat rozwiązania zadania

  1. Wartość rośnie, maleje czy zmienia się o stałą kwotę?
  2. Zamień procent na mnożnik: +7%→1,07+7\%\to1{,}07, −7%→0,93-7\%\to0{,}93.
  3. Ustal K0K0 i liczbę okresów nn (lata? miesiące? etapy?).
  4. Zmiana procentowa → model geometryczny; kwotowa → arytmetyczny.
  5. Przeczytaj pytanie: wartość końcowa, zysk, strata czy liczba okresów?

Przykład

Przykład 1 — lokata (wzrost)

K 0=5000 , p=4\% , n=3 , kapitalizacja roczna: K 3=5000\cdot1{,}04^3=5000\cdot1{,}124864=5624{,}32 \text{ zł}

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — spadek wartości

Sprzęt traci 12\% rocznie, K 0=3000 zł.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — kapitalizacja miesięczna

K 0=6000 zł, 0{,}5\% miesięcznie. Po roku to n=12 okresów: K {12}=6000\cdot1{,}005^{12} (Najczęstsza pułapka: rok to nie zawsze n=1 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — stała kwota czy procent?

Rozpoznaj model z treści: - „Cena rośnie co miesiąc o 20 zł " → stała kwota → ciąg arytmetyczny : a n=a 1+(n-1)\cdot20 . - „Cena rośnie co miesiąc o 5\% " → stały mnożnik → ciąg geometryczny : K n=K 0\cdot1{,}05^n .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- 4\% jako 4 . Zamień procent na ułamek: 4\%=0{,}04 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: zobacz ciąg pod treścią, zamień procent na mnożnik , ustal liczbę okresów, użyj K n=K 0q^n (geom. ) albo modelu arytmetycznego dla stałych kwot.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Procent składany

Sytuacja, w której po każdym okresie nowa wartość staje się podstawą do kolejnego naliczania procentu

Mnożnik wzrostu

Liczba, przez którą mnożysz wartość przy wzroście procentowym, np. 8% daje 1,08

Mnożnik spadku

Liczba, przez którą mnożysz wartość przy spadku procentowym, np. spadek 8% daje 0,92

Kapitał początkowy

Wartość, od której zaczyna się obliczenia, np. początkowa kwota na lokacie

Okres kapitalizacji

Moment, po którym dopisywane są odsetki, np. rok albo miesiąc

Model geometryczny

Opis sytuacji, w której każda kolejna wartość powstaje przez mnożenie przez ten sam współczynnik

Materiały ZPE

3 materiały

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Kapitał z procentem składanymKn=K0(1+p100)nK_n=K_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^n
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:9%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →