NexTutor
Dział MAT.M.10›Ciąg arytmetyczny i geometryczny — wzory i zastosowania

Ciąg arytmetyczny i geometryczny — wzory i zastosowania

Klasa maturalnaMatura PPRóżnica czy iloraz?Wzory ciągów

W zadaniach z ciągów najważniejsze jest rozpoznanie, czy różnica jest stała, czy iloraz jest stały. Gdy to ustalisz, wybierasz właściwy wzór i pilnujesz numeru wyrazu, bo tam najczęściej uciekają punkty.

⏱ ~39 min
Ciąg arytmetyczny i geometryczny — wzory i zastosowania

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

CKE rzadko pyta o definicję — daje kilka liczb, warunek albo treść i sprawdza, czy rozpoznasz typ ciągu i dobierzesz wzór.

TypCo stałe?nn-ty wyrazSuma nn wyrazów
arytmetycznyróżnica rran=a1+(n−1)ran=a1+(n-1)rSn=a1+an2⋅nSn=\dfrac{a1+an}{2}\cdot n
geometrycznyiloraz qqan=a1qn−1an=a1q^{n-1}Sn=a11−qn1−qSn=a1\dfrac{1-qn}{1-q} (q≠1q\neq1)

Arytmetyczny: do kolejnych wyrazów dodajesz tę samą liczbę. Geometryczny: kolejne wyrazy mnożysz przez tę samą liczbę.

Wizualizacja· Różnica czy iloraz?
Dwie sekwencje — arytmetyczna 2,5,8,11 z równymi skokami +3 oraz geometryczna 2,6,18,54 z mnożeniem ×3, plus reguła rozpoznania typu ciągu
Arytmetyczny rośnie przez dodawanie tej samej różnicy r, geometryczny przez mnożenie przez ten sam iloraz q. Rozpoznajesz to po dwóch kolejnych wyrazach.

Co zauważyć: Stała różnica kolejnych wyrazów → ciąg arytmetyczny; stały iloraz → ciąg geometryczny.

Poziom: matura podstawowa; granice ciągów i suma nieskończona to PR bridge.

Ważny przypadek: $q=1$

Wzór Sn=a11−qn1−qSn=a1\dfrac{1-qn}{1-q} nie działa dla q=1q=1 — mianownik 1−q=01-q=0. Wtedy wszystkie wyrazy są równe a1a1, więc suma to po prostu:

q=1  ⇒  Sn=n⋅a1q=1 \;\Rightarrow\; Sn=n\cdot a1

Arytmetyczny czy geometryczny? (rozpoznanie)

an+1−an=r (stała)⇒arytmetyczny,an+1an=q (stały)⇒geometrycznya_{n+1}-an=r \ (\text{stała}) \Rightarrow \text{arytmetyczny},\qquad \frac{a_{n+1}}{an}=q \ (\text{stały}) \Rightarrow \text{geometryczny}

Np. 2,5,8,11,…2,5,8,11,\dots → arytmetyczny (r=3r=3); 2,6,18,54,…2,6,18,54,\dots → geometryczny (q=3q=3).

Schemat rozwiązania zadania

⚠️ Uważaj na n-1 . We wzorach a n=a 1+(n-1)r oraz a n=a 1q^{n-1} od pierwszego wyrazu do n -tego wykonujesz n-1 kroków — nie n .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 1 — arytmetyczny

a 1=5 , r=3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — geometryczny

a 1=3 , q=2 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — rozpoznaj typ

Ciąg 2,6,18,54,\dots . Dziel kolejne wyrazy: \tfrac{6}{2}=3 , \tfrac{18}{6}=3 , \tfrac{54}{18}=3 — stały iloraz → geometryczny, q=3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — zadanie tekstowe (suma)

W pierwszym tygodniu uczeń rozwiązał 8 zadań, a w każdym kolejnym o 3 więcej. Ile rozwiązał przez 6 tygodni?

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- n zamiast n-1 . a n=a 1+(n-1)r — od a 1 do a n jest n-1 kroków.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: rozpoznaj typ (różnica czy iloraz), dobierz wzór, pilnuj n-1 i przypadku q=1 przy sumie geometrycznej, i odpowiadaj na właściwe pytanie ( a n vs S n ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Ciąg liczbowy

Lista liczb ustawionych w określonej kolejności; każdy element ma swój numer

Ciąg arytmetyczny

Ciąg, w którym między kolejnymi wyrazami jest ta sama różnica r

Różnica ciągu

Liczba r, którą dodajesz do wyrazu, żeby dostać następny wyraz ciągu arytmetycznego

Ciąg geometryczny

Ciąg, w którym kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q

Iloraz ciągu

Liczba q, przez którą mnożysz wyraz ciągu geometrycznego, aby dostać następny

Suma n wyrazów

Wynik dodania pierwszych n wyrazów ciągu

Materiały ZPE

3 materiały

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Ciąg arytmetyczny — n-ty wyrazan=a1+(n−1)ra_n=a_1+(n-1)rSuma ciągu arytmetycznegoSn=a1+an2⋅nS_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot nWłasność środkowego wyrazu (arytm.)an=an−1+an+12a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}Ciąg geometryczny — n-ty wyrazan=a1qn−1a_n=a_1 q^{n-1}Suma ciągu geometrycznegoSn=a11−qn1−qS_n=a_1\dfrac{1-q^{n}}{1-q}Własność środkowego wyrazu (geom.)an2=an−1⋅an+1a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}Suma szeregu geometrycznego zbieżnegoS=a11−qS=\dfrac{a_1}{1-q}

Materiał z klas 1–4

Lekcje klasowe z tym materiałem

Ciąg liczbowy — definicja, wzór ogólny i rekurencjaCiąg arytmetyczny — wzory i suma wyrazówCiąg geometryczny — wzory, suma i procent składanyGranica ciągu — intuicja i zastosowania
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:8%
← Powrót do działuNastępna lekcja →