Zadania wieloetapowe z planimetrii — trójkąty i czworokąty

Klasa maturalnaMatura PPRysunek → relacja → wynikWieloetapowe / dowód

Zadanie wieloetapowe z planimetrii rzadko rozwiązuje się jednym wzorem. Najpierw szukasz podobieństwa, wysokości, kąta albo brakującego odcinka, a dopiero potem liczysz to, o co naprawdę pyta zadanie.

⏱ ~40 min

Zadania wieloetapowe z planimetrii — trójkąty i czworokąty

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

W dłuższych zadaniach z planimetrii CKE sprawdza, czy umiesz połączyć kilka prostych faktów. To nie jeden trudny wzór, lecz ciąg małych kroków: rysunek → relacja → rachunek.

Narzędzie	Kiedy używać?
podobieństwo trójkątów	równe kąty albo proporcje boków
twierdzenie Talesa	równoległa przecina ramiona kąta / boki trójkąta
Pitagoras	kąt prosty albo wysokość
wzory na pola	łączysz długości z wysokościami
suma kątów	wyznaczasz brakujące kąty

Poziom: podobieństwo i Tales to baza PP; zadania dowodowe i wieloetapowe to PR bridge.

Które narzędzie wybrać?

równoległość → Tales
równe kąty → podobieństwo
kąt prosty / wysokość → Pitagoras
podstawa + wysokość → pole

Mapa decyzyjna — od pytania „co widzisz na rysunku" pięć gałęzi: równoległość → Tales, równe kąty → podobieństwo, kąt prosty lub wysokość → Pitagoras, podstawa i wysokość → pole, brakujący kąt → suma kątów — W zadaniu wieloetapowym najpierw rozpoznaj relację na rysunku, potem dobierz narzędzie: równoległość → Tales; równe kąty → podobieństwo; kąt prosty → Pitagoras; podstawa i wysokość → pole; brakujący kąt → suma kątów.

Wysokość do przeciwprostokątnej

W trójkącie prostokątnym wysokość $h$ opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki $p,q$ :

h

a

Wzór $h$ działa tylko dla wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym — nie w dowolnym. Wynika z podobieństwa trzech trójkątów prostokątnych (duży + dwa mniejsze), więc nie jest „magiczny".

Schemat rozwiązania zadania

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 1 — wysokość do przeciwprostokątnej

Wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinki p=4 , q=9 : h^2=pq=4\cdot9=36 \;\Rightarrow\; h=6

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — twierdzenie Talesa

W trójkącie ABC : DE\parallel BC , D\in AB , E\in AC . Dane AD=3 , DB=6 , AE=4 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — podobieństwo trójkątów

\triangle ABC\sim\triangle DEF w skali k=\dfrac{AB}{DE}=3 . Dane EF=5 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Zadanie zamknięte (ABCD)

W trójkącie ABC poprowadzono DE\parallel BC ( D\in AB , E\in AC ). Którego narzędzia użyjesz jako pierwszego , by powiązać odcinki?

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Podobieństwo bez wskazania równych kątów. W zadaniu otwartym najpierw uzasadnij, dlaczego trójkąty są podobne.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: rysunek z zaznaczonymi relacjami, rozpoznanie narzędzia (Tales / podobieństwo / Pitagoras / pole), poprawna proporcja i powrót do dokładnego pytania. W dowodach licz się z uzasadnieniami, nie tylko rachunkiem.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość