Zadania wieloetapowe ze stereometrii — łączenie brył
Zadanie wieloetapowe ze stereometrii prawie zawsze składa się z dwóch części: najpierw geometria pomocnicza, potem podstawienie do wzoru. Największy zysk punktowy daje rozpisanie danych, rysunek przekroju i konsekwentne liczenie krok po kroku.
Co CKE najczęściej sprawdza?
W zadaniach wieloetapowych CKE sprawdza, czy umiesz zaplanować rozwiązanie. Uczeń często wie „mniej więcej", co robić, ale traci punkty, zaczynając od wzoru zamiast od geometrii.
Typowe konstrukcje: stożek wpisany w walec, kula wpisana w sześcian albo opisana na sześcianie, ostrosłup z kątem, przekrój bryły, porównanie objętości.
Poziom: głównie PR (bryły wpisane/opisane, przekroje, relacje); PP bridge to sześcian, przekątna, wzory na kulę.
Słownictwo
Wpisana czy opisana? (klucz)
| Relacja | Gdzie kula dotyka? | Promień |
|---|---|---|
| kula wpisana w sześcian | styczna do ścian | |
| kula opisana na sześcianie | przez wierzchołki |
Kula opisana na sześcianie używa przekątnej przestrzennej (kula przechodzi przez wierzchołki), a nie przekątnej ściany . Zapamiętaj trzy długości: krawędź , przekątna ściany , przekątna bryły . Dla kuli opisanej średnica przekątna sześcianu.
Co zauważyć: Wpisana → 2r=a; opisana → 2r=a√3. Promień to zawsze połowa znalezionej średnicy.
Schemat rozwiązania zadania
Jak rozwiązać zadanie z łączeniem brył
Rozpoznaj relację
wpisana czy opisana? która bryła wewnątrz?
Znajdź wspólny wymiar
2r=a (wpisana) albo 2r=a√3 (opisana)
Narysuj przekrój
pokazuje wspólny wymiar — często całe rozwiązanie
Policz promień
r = połowa średnicy
Dopiero potem V lub P
podstaw do wzoru na objętość/pole
Sprawdź sens
wpisana nie ma większej średnicy niż bryła zewnętrzna
Przykład
Przykład 1 — kula opisana na sześcianie
Sześcian o krawędzi a=6 .
Przykład
Przykład 2 — kula wpisana w sześcian
Sześcian o krawędzi a=10 .
Przykład
Przykład 3 — zadanie odwrotne (z usuwaniem niewymierności)
Kula opisana na sześcianie ma promień r=3 . Wyznacz krawędź sześcianu: a\sqrt3=2r=6 \Rightarrow a=\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3 (Mianownik z pierwiastkiem usuwasz, mnożąc przez \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} .
Przykład
Przykład 4 — porównanie objętości
Sześcian o krawędzi a=6 z kulą wpisaną ( r=\tfrac{a}{2}=3 ). Objętości: V {\text{sześcianu}}=6^3=216,\qquad V {\text{kuli}}=\frac43\pi\cdot3^3=36\pi Przestrzeń między kulą a sześcianem: 216-36\pi .
Przykład
Typowe błędy, za które tracisz punkty
- Mylenie kuli wpisanej z opisaną. Wpisana: r=\dfrac{a}{2} ; opisana: r=\dfrac{a\sqrt3}{2} — zupełnie inny promień.
Jak to wygląda na maturze?
Klucz: rozpoznaj wpisaną/opisaną, znajdź wspólny wymiar (krawędź lub przekątna a\sqrt3 ), narysuj przekrój i policz promień jako połowę średnicy. Sprawdź, czy wynik ma sens geometryczny.
Kluczowe pojęcia
Bryła wpisana
Bryła umieszczona wewnątrz innej tak, że dotyka jej ścian, krawędzi lub powierzchni
Bryła opisana
Bryła zewnętrzna, która obejmuje inną bryłę i zwykle przechodzi przez jej charakterystyczne punkty
Przekątna sześcianu
Odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki sześcianu; ma długość a√3
Przekątna podstawy
Przekątna kwadratu w podstawie sześcianu lub prostopadłościanu; dla boku a ma długość a√2
Wspólny wymiar
Długość, która jest taka sama dla dwóch powiązanych brył, np. wysokość walca i stożka
Plan rozwiązania
Kolejność kroków: dane, rysunek, brakujący wymiar, wzór, odpowiedź
Materiały ZPE
3 materiałyMateriał z klas 1–4
Skąd znasz ten materiał
W tej lekcji
- 1Co CKE najczęściej sprawdza?
- 2Wpisana czy opisana? (klucz)
- 3Schemat rozwiązania zadania
- 4Przykład 1 — kula opisana na sześcianie
- 5Przykład 2 — kula wpisana w sześcian
- 6Przykład 3 — zadanie odwrotne (z usuwaniem niewymierności)
- 7Przykład 4 — porównanie objętości
- 8Typowe błędy, za które tracisz punkty
- 9Jak to wygląda na maturze?
- Kluczowe pojęcia
- Materiały ZPE