Przekształcenia wykresów — przesunięcia i symetrie

Klasa maturalnaMatura PPPrzesuń wykres

Przekształcenia wykresów są proste, jeśli pamiętasz jedną zasadę: zmiana przy całej funkcji działa na y, a zmiana przy x działa poziomo i często odwrotnie niż intuicja. Najwięcej błędów jest przy f(x−a) i f(x)+b.

⏱ ~33 min

Przekształcenia wykresów — przesunięcia i symetrie

Co CKE najczęściej sprawdza?

W zadaniach o przekształceniach wykresów CKE sprawdza, czy umiesz przewidzieć, jak zmieni się wykres $y=f(x)$ po dodaniu liczby, zmianie znaku albo przesunięciu argumentu — i potem odczytać nową dziedzinę, miejsca zerowe lub wartości.

Poziom: matura podstawowa; na PR te reguły są niezbędne przy funkcjach trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych i analizie wykresów.

Słownictwo

Tabela przekształceń

Nowa funkcja	Co dzieje się z wykresem?
$y=f(x)+a$	przesunięcie w górę o $a$
$y=f(x)-a$	przesunięcie w dół o $a$
$y=f(x-a)$	przesunięcie w prawo o $a$
$y=f(x+a)$	przesunięcie w lewo o $a$
$y=-f(x)$	odbicie względem osi $OX$
$y=f(-x)$	odbicie względem osi $OY$

(W tabeli przyjmujemy $a>0$ — wtedy kierunki są jak opisano; dla $a<0$ kierunek przesunięcia odwraca się.)

Wykres bazowy f, g(x)=f(x-3)+2 przesunięty o wektor [3,2] oraz h(x)=-f(x) odbity względem osi OX; panel z regułą (x,y)→(x+3,y+2) — g(x)=f(x-3)+2 to przesunięcie o wektor [3,2] — każdy punkt (x,y)→(x+3,y+2); h(x)=-f(x) to odbicie względem osi OX. Przesunięcie w argumencie zmienia x (odwrotnie), dodanie poza funkcją zmienia y.

Wzór zbiorczy. Złożenie przesunięć zapisujesz jako $g(x)=f(x-p)+q$ : wykres $f$ przesuwasz o wektor $[p,q]$ , więc każdy punkt $(x,y)\mapsto(x+p,\,y+q)$ , a dziedzina $D$ (pionowe $+q$ nie zmienia dziedziny).

Słownictwo

Poza funkcją czy w argumencie?

Zmiana poza $f$ (na wartości $y$ )	Zmiana w argumencie $x$
$f(x)+a$ , $-f(x)$	$f(x-a)$ , $f(-x)$
ruch pionowy / odbicie wzgl. $OX$	ruch poziomy / odbicie wzgl. $OY$
działa zgodnie z intuicją	działa odwrotnie (znak przeciwny)

Najważniejsze ostrzeżenie: zmiana przy $x$ działa odwrotnie. $f(x-3)$ to przesunięcie w prawo o $3$ , a $f(x+3)$ w lewo o $3$ .

Schemat rozwiązania zadania

1. Rozpoznaj bazowy wykres y=f(x) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykłady maturalne

Przykład 1 (miejsce zerowe). f ma miejsce zerowe x=2 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Rozszerzenie (PR) — przekształcenia złożone

Dla g(x)=-f(x-2)+3 wykonujesz trzy kroki kolejno: przesuń w prawo o 2 ( f(x-2) ), odbij względem OX ( -f(x-2) ), przesuń w górę o 3 ( +3 ). Punkt (a,b) z wykresu f przechodzi w (a+2,\,-b+3) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- f(x-3) przesuwane w lewo. Najczęstszy błąd — f(x-a) to przesunięcie w prawo o a (zmiana przy x działa odwrotnie).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Typowo: „na podstawie wykresu f wskaż wykres g(x)=f(x-2)+1 ", podaj dziedzinę/miejsca zerowe po przesunięciu albo dopasuj wzór do przekształcenia. Klucz: rozpoznaj, czy zmiana jest poza f czy w argumencie, i pamiętaj o odwrotnym kierunku przy x .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość