Matura próbna — zadania z wielomianów z arkuszy CKE

Zadanie 1 (parametr). Liczba $2$ jest pierwiastkiem $W(x)=x3+ax^2-4x-4$. Wyznacz $a$. Z $W(2)=0$:

$$8+4a-8-4=0 \Rightarrow 4a-4=0 \Rightarrow a=1$$

(Klucz: zapis $W(2)=0$ — bez niego egzaminator widzi luźne rachunki, nie zastosowanie definicji.)

Zadanie 2 (reszta). Reszta z dzielenia $W(x)=x3-2x+5$ przez $x-2$:

$$r=W(2)=8-4+5=9$$

Zadanie 3 (rozkład + równanie). $W(x)=x3-6x^2+11x-6$. Pierwiastek $x=1$ ($W(1)=0$), dzielenie daje $x2-5x+6=(x-2)(x-3)$:

$$W(x)=(x-1)(x-2)(x-3),\qquad W(x)=0 \iff x\in\{1,2,3\}$$

Zadanie 4 (nierówność). $(x-1)(x+2)(x-4)\ge0$. Pierwiastki $-2,1,4$; znaki $-,+,-,+$:

$$x\in[-2,1]\cup[4,\infty)$$

Zadanie 5 (nierówność z pierwiastkiem podwójnym). $(x-1)^2(x+2)(x-4)\ge0$. Miejsca zerowe: $-2$, $1$ (krotność 2), $4$. Przy $x=1$ znak się nie zmienia. Siatka znaków:

Szukamy $\ge0$ → przedziały dodatnie plus wszystkie zera. Uwaga: $x=1$ to punkt izolowany (tam $W=0$, a wokół $W<0$):

$$x\in(-\infty,-2]\cup\{1\}\cup[4,\infty)$$

Odpowiedzi mini:

1. gdy „$a$ jest pierwiastkiem" lub pytają o czynnik
2. $r=W(3)$ (twierdzenie Bézouta)
3. $(x-3)$
4. dziel i szukaj kolejnych pierwiastków
5. przedziały (suma przedziałów z $\cup$)

Gdzie tracisz punkty (scoring): (1) zapis $W(a)=0$; (2) rozwiązanie równania względem parametru; (3) pełny rozkład, nie jeden pierwiastek; (4) w nierówności — przedziały, nie same zera.