Równania i nierówności wymierne — wyznacznik znaku

Klasa maturalnaMatura PPZnak ułamka

W równaniach i nierównościach wymiernych najpierw ustalasz dziedzinę, potem sprowadzasz wszystko do jednej strony. Najczęstsza strata punktów to dobry rachunek, ale brak wykluczenia wartości zerujących mianownik.

⏱ ~28 min

Równania i nierówności wymierne — wyznacznik znaku

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

W równaniach i nierównościach wymiernych trzeba jednocześnie liczyć i pilnować dziedziny — niektóre $x$ są zakazane (zerują mianownik).

Typ zadania	Najważniejsza zasada
równanie wymierne	rozwiązania z licznika, ale mianownik $\neq0$
nierówność wymierna	znak zależy od licznika i mianownika razem
dziedzina	zawsze przed mnożeniem przez mianownik
odpowiedź	usuń wartości wykluczone z dziedziny

Reguła równania wymiernego:

\frac{P(x)}{Q(x)}=0 \iff P(x)=0 \ \text{ i }\ Q(x)\neq0

Poziom: matura podstawowa + PR bridge (wspólny mianownik, skracanie, parametry).

Nie mnóż nierówności przez mianownik o nieznanym znaku! Mianownik może być dodatni lub ujemny — znak nierówności mógłby się odwrócić. Zamiast tego rób tabelę znaków.

Słownictwo

Schemat — równanie vs nierówność

Równanie wymierne	Nierówność wymierna
1. założenia: mianownik $\neq0$	1. zapisz dziedzinę
2. wszystko na jedną stronę	2. wszystko na jedną stronę
3. wspólny mianownik	3. jedna kreska ułamkowa
4. licznik $=0$	4. zera licznika i mianownika
5. sprawdź dziedzinę	5. oś + tabela znaków → wybierz przedziały

Zera mianownika nigdy nie należą do odpowiedzi.

Tabela znaków dla (x+1)/(x-2): wiersze x+1, x-2, iloraz na przedziałach −/+/+, −/−/+, +/−/+; oś z -1 domkniętym (zero licznika) i 2 otwartym (wykluczone); wynik (-∞,-1]∪(2,∞) — Znak ilorazu = „mnożenie znaków" licznika i mianownika. Zero licznika może wejść do odpowiedzi (nawias domknięty), zero mianownika — nigdy (zawsze otwarte). Wynik ≥0: (-∞,-1]∪(2,∞).

Przykład

Przykład główny — nierówność

$\dfrac{x+1}{x-2}\ge0$ . Dziedzina: $x\neq2$ . Zera: licznik $x=-1$ , mianownik $x=2$ .

	$(-\infty,-1)$	$(-1,2)$	$(2,\infty)$
$x+1$	$-$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$+$
$\frac{x+1}{x-2}$	$+$	$-$	$+$

Szukamy $\ge0$ → przedziały dodatnie. $x=-1$ należy (licznik $=0$ ), $x=2$ wykluczone:

x\in(-\infty,-1]\cup(2,\infty)

Przykład

Przykład — równanie i punkt wykluczony po skróceniu

Równanie. \dfrac{x+1}{x-2}=0 : licznik =0 przy x=-1 (i -1\neq2 ), więc x=-1 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — trzy punkty graniczne

\dfrac{x-3}{(x-1)(x+2)}<0 . Dziedzina: x\neq1 , x\neq-2 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Brak dziedziny. Najpierw mianownik \neq0 — warunek konieczny.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: najpierw dziedzina, potem znaki . Równanie kończy się na liczniku (z kontrolą mianownika), nierówność — na tabeli znaków i wyborze przedziałów z otwartym nawiasem przy zerach mianownika.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość