NexTutor
Dział MAT.M.9›Twierdzenie sinusów i cosinusów — zadania z trójkątami

Twierdzenie sinusów i cosinusów — zadania z trójkątami

Klasa maturalnaMatura PRSinus czy cosinus?Wybór twierdzenia

Twierdzenie sinusów wybierasz wtedy, gdy w zadaniu pojawia się bok naprzeciw kąta, a twierdzenie cosinusów wtedy, gdy masz układ bok–kąt–bok albo trzy boki. Największa sztuka to nie samo podstawienie, tylko rozpoznanie, którego twierdzenia użyć.

⏱ ~43 min
Twierdzenie sinusów i cosinusów — zadania z trójkątami

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

W trójkątach dostajesz fragment danych: dwa boki i kąt, dwa kąty i bok, albo trzy boki. CKE sprawdza, czy umiesz dobrać narzędzie.

SytuacjaNarzędzie
bok i kąt naprzeciw niegotwierdzenie sinusów
dwa kąty i jeden boktwierdzenie sinusów
dwa boki i kąt między nimitwierdzenie cosinusów
trzy boki, szukasz kątatwierdzenie cosinusów
pole z dwóch boków i kąta między nimiP=12absin⁡γP=\tfrac12ab\sin\gamma

Poziom: głównie PR (wybór metody, zadania wieloetapowe); PP bridge to pole i proste trójkąty.

Wzory

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R c2=a2+b2−2abcos⁡γ(γ to kąt między a i b)c2=a2+b2-2ab\cos\gamma \qquad(\gamma \text{ to kąt } \textbf{między } a \text{ i } b) P=12absin⁡γP=\tfrac12ab\sin\gamma

Pary przeciwległe: a↔αa\leftrightarrow\alpha, b↔βb\leftrightarrow\beta, c↔γc\leftrightarrow\gamma.

Kąt między bokami ≠ kąt naprzeciw boku. W c2=a2+b2−2abcos⁡γc2=a2+b2-2ab\cos\gamma kąt γ\gamma leży między aa i bb; w twierdzeniu sinusów bok jest naprzeciw swojego kąta. To rozróżnienie decyduje o wyborze wzoru.

Wizualizacja· Sinus czy cosinus? Decyduje układ danych
Trójkąt ABC z bokami a, b, c i kątami α, β, γ oraz trzy kafle wyboru — bok i kąt naprzeciw daje sinusów, dwa boki i kąt między daje cosinusów lub pole, trzy boki dają cosinusów
Najpierw rozpoznaj układ danych, potem wybierz wzór: bok i kąt naprzeciw → sinusów; dwa boki i kąt między → cosinusów albo pole; trzy boki → cosinusów.

Co zauważyć: Wybór wzoru wynika z relacji bok–kąt, nie z nazwy twierdzenia.

Schemat (decyzja z danych)

Infografika

Decyzja: którego wzoru użyć?

1

Narysuj trójkąt

oznacz pary bok–kąt naprzeciw (a↔α b↔β c↔γ)

2

Dwa boki + kąt MIĘDZY nimi

twierdzenie cosinusów albo pole

3

Trzy boki — szukasz kąta

twierdzenie cosinusów

4

Bok + kąt NAPRZECIW niego

twierdzenie sinusów

5

Sprawdź wynik

suma kątów = 180°; każdy bok > 0

Przykład

Przykład 1 — twierdzenie cosinusów

a=7 , b=9 , \gamma=60^\circ (między nimi).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — twierdzenie sinusów

a=8 , \alpha=30^\circ , \beta=45^\circ .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — pole

a=6 , b=10 , \gamma=30^\circ (między nimi): P=\tfrac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\tfrac12=15

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — trzy boki, szukasz kąta

a=5 , b=7 , c=8 . Szukamy kąta \gamma (leży między a i b , naprzeciw c ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Zadanie zamknięte (ABCD)

W trójkącie dane są boki a=6 , b=8 oraz kąt \gamma=50^\circ między nimi. Którego narzędzia użyjesz, aby obliczyć bok c ?

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Rozszerzenie (PR) — dwa możliwe kąty

Przy twierdzeniu sinusów (układ SSA: dwa boki i kąt nie między nimi) bywają dwa rozwiązania: \beta oraz 180^\circ-\beta , jeśli oba dają sensowny trójkąt ( \alpha+\beta<180^\circ ). Zawsze sprawdź sumę kątów.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Sinusów przy dwóch bokach i kącie między nimi. Tam nie ma pary bok–kąt naprzeciw → użyj cosinusów .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: narysuj trójkąt, sparuj boki z kątami naprzeciw i wybierz wzór z danych — kąt między bokami → cosinusów/pole, kąt naprzeciw → sinusów. Na końcu sprawdź sumę kątów i pierwiastek przy c^2 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Twierdzenie sinusów

Zależność a/sin α = b/sin β = c/sin γ, przydatna, gdy znamy parę bok–kąt naprzeciw siebie

Twierdzenie cosinusów

Wzór c²=a²+b²−2ab cos γ, który pozwala liczyć bok albo kąt w dowolnym trójkącie

Kąt między bokami

Kąt, którego ramionami są dwa dane boki; ważny przy twierdzeniu cosinusów i wzorze na pole

Pole trójkąta z sinusem

Wzór P=(1/2)ab sin γ, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi

Para naprzeciw siebie

Bok i kąt leżące po przeciwnych stronach trójkąta, np. bok a naprzeciw kąta α

Materiały ZPE

4 materiały

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Twierdzenie sinusówasin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2RTwierdzenie cosinusówc2=a2+b2−2abcos⁡γc^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

Materiał z klas 1–4

Skąd znasz ten materiał

Twierdzenie sinusów i cosinusów — kiedy i jak stosować
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:8%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →