NexTutor
Dział MAT.M.9›Równania trygonometryczne i wykresy sin/cos

Równania trygonometryczne i wykresy sin/cos

Klasa maturalnaMatura PRSinus w okresieRównania ogólne

Równania trygonometryczne rozwiązujesz przez wartości z okręgu jednostkowego i okresowość, a wykresy sin/cos czytasz przez amplitudę, okres i przesunięcia. To jest część rozszerzona, ale bardzo porządkuje całą trygonometrię.

⏱ ~36 min
Równania trygonometryczne i wykresy sin/cos

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

Na PR ważne są równania trygonometryczne i wykresy y=sin⁡xy=\sin x, y=cos⁡xy=\cos x. Klucz to okrąg jednostkowy i okresowość.

FunkcjaAmplitudaOkresWartości
y=sin⁡xy=\sin x112π2\pi[−1,1][-1,1]
y=cos⁡xy=\cos x112π2\pi[−1,1][-1,1]
y=asin⁡xy=a\sin x∣a∣\lvert a\rvert2π2\pi[−∣a∣,∣a∣][-\lvert a\rvert,\lvert a\rvert]
y=sin⁡(bx)y=\sin(bx)112π∣b∣\frac{2\pi}{\lvert b\rvert}[−1,1][-1,1]

Uwaga: y=asin⁡xy=a\sin x zmienia amplitudę (nie okres); y=sin⁡(bx)y=\sin(bx) zmienia okres (nie amplitudę). Współczynnik przed funkcją działa pionowo, przy xx — poziomo.

Poziom: głównie PR; PP bridge to wartości specjalne i proste odczyty z wykresu.

Słownictwo

Rozwiązania ogólne

sin⁡x=a: x=x0+2kπ lub x=π−x0+2kπ\sin x=a:\ x=x0+2k\pi \ \text{lub}\ x=\pi-x0+2k\pi cos⁡x=a: x=±x0+2kπ\cos x=a:\ x=\pm x0+2k\pi tg⁡x=a: x=x0+kπ(k∈Z)\operatorname{tg} x=a:\ x=x0+k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})

Warunek istnienia rozwiązań: sin⁡x=a\sin x=a oraz cos⁡x=a\cos x=a mają rozwiązania tylko dla a∈[−1,1]a\in[-1,1] — poza tym przedziałem równanie jest sprzeczne. Dla tg⁡x=a\operatorname{tg} x=a rozwiązanie istnieje dla każdego a∈Ra\in\mathbb{R}.

RównanieOkresRozwiązań w okresieDodajesz
sin⁡x=a\sin x=a (dla −1<a<1-1<a<1)2π2\pi22+2kπ+2k\pi
cos⁡x=a\cos x=a (dla −1<a<1-1<a<1)2π2\pi22+2kπ+2k\pi
tg⁡x=a\operatorname{tg} x=aπ\pi11+kπ+k\pi
Wizualizacja· Dwa rozwiązania w jednym okresie
Wykres y=sin x na przedziale od 0 do 2π z poziomą linią y=a przecinającą wykres w dwóch punktach x1 i x2
Równanie sin x = a (dla −1 < a < 1) ma w przedziale [0,2π) dwa rozwiązania: jedno w I, drugie w II ćwiartce. Potem dokładasz okresowość +2kπ.

Co zauważyć: Jedno przecięcie z tabeli to nie wszystko — w jednym okresie wykres przecina poziom y=a dwa razy.

Schemat rozwiązania zadania

Infografika

Jak rozwiązać równanie trygonometryczne

1

Rozpoznaj funkcję

sin • cos czy tg

2

Kąt podstawowy

z tabeli 30/45/60 albo z okręgu

3

Ćwiartki i znak

w których ćwiartkach wartość pasuje

4

Dodaj okresowość

+2kπ (sin/cos) albo +kπ (tg)

5

Filtr przedziału

zostaw tylko rozwiązania z zadanego zakresu

Przykład

Przykład 1 — sinus

\sin x=\dfrac12 , x\in\langle0,2\pi\rangle . \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12 , sinus dodatni w I i II ćwiartce: x=\tfrac{\pi}{6} \ \text{lub}\ x=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6} Ogólnie: x=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi lub x=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi , k\in\mathbb{Z} .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — cosinus ujemny

\cos x=-\dfrac12 , x\in\langle0,2\pi\rangle .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — krótszy okres

\sin(2x)=0 , x\in\langle0,2\pi\rangle . Bo 2x\in\langle0,4\pi\rangle i \sin t=0 dla t=0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi : 2x\in\{0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi\} \;\Rightarrow\; x\in\left\{0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right\} (Okres y=\sin(2x) to \pi — w \langle0,2\…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — cosinus z krótszym okresem i filtrem

\cos(2x)=\dfrac12 , x\in\langle0,2\pi\rangle . Podstaw t=2x , wtedy t\in\langle0,4\pi\rangle .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Jedno rozwiązanie \sin x=\tfrac12 . W jednym okresie są dwa (I i II ćwiartka).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: kąt podstawowy z okręgu, dwa rozwiązania w okresie, okresowość ( 2k\pi / k\pi ), filtr przedziału. Przy wykresach rozdzielaj amplitudę (przed funkcją) od okresu (przy x ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Równanie trygonometryczne

Równanie, w którym niewiadoma występuje jako argument sinusa, cosinusa albo tangensa

Okres funkcji

Długość fragmentu wykresu, po którym funkcja zaczyna się powtarzać

Amplituda

Największe wychylenie wykresu sinusa lub cosinusa od osi środkowej

Rozwiązanie ogólne

Zapis wszystkich rozwiązań z parametrem k, np. x=π/6+2kπ

Okrąg jednostkowy

Narzędzie do odczytywania kątów, znaków i wartości funkcji trygonometrycznych

Przedział rozwiązań

Zakres, z którego wybierasz tylko pasujące kąty, np. <0,2π>

Materiały ZPE

3 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:9%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →