NexTutor
Dział FIZ.1.2›Pęd i zasada zachowania pędu — zderzenia
FIZ.1.2.3

Pęd i zasada zachowania pędu — zderzenia

Impuls siły, typy zderzeń i środek masy

pędimpulszasada zachowania pęduzderzenie sprężystezderzenie niesprężysteśrodek masymatura fizyka ZR⏱ ~60 min
⏱ ~60 min
Pęd i zasada zachowania pędu — zderzenia
1

Po tej lekcji będziesz umieć

1

Obliczyć pęd ciała i impuls siły

p = mv, J = FΔt = Δp

2

Zastosować zasadę zachowania pędu do układu izolowanego

pprzedp_\text{przed} = ppop_\text{po} (wektorowo)

3

Rozróżnić zderzenie sprężyste od niesprężystego

i wybrać właściwe równania

4

Rozwiązać zadanie z zderzeniem centralnym w 1D

krok po kroku z zasadą zachowania

5

Obliczyć prędkość środka masy układu

vcmv_\text{cm} = Σmᵢvᵢ/Σmᵢ

2

Po co Ci to na maturze?

Pęd i zderzenia pojawiają się w zadaniach z rozbiciem/połączeniem ciał, wybuchem, uderzeniem pocisku, hamowaniem — regularnie na PP i PR. Zasada zachowania pędu to jedna z fundamentalnych zasad fizyki i ulubiony temat CKE na PR.

Najważniejsza idea

Kluczowe pytanie przed każdym zadaniem: czy układ jest izolowany (ΣFzewnF_\text{zewn} = 0)? Jeśli tak — pęd zachowany. Gdy tarcie lub inna siła zewnętrzna — pęd NIE jest zachowany.

3

Intuicja zjawiska

Wystrzel kulę z armaty: armata odskakuje w tył. Przed strzałem pukładp_\text{układ} = 0. Po strzale: kula leci do przodu z pkulap_\text{kula} = mv, armata do tyłu z parmatap_\text{armata} = MV. Suma nadal zero: mv + MV = 0. Zasada zachowania pędu nigdy nie zawodzi dla układów izolowanych.

Pęd p⃗=mv⃗\vec p = m\vec v

Wektor! Masa × prędkość. Im większa masa lub prędkość, tym trudniej zmienić ruch. Jednostka: [kg·m/s] = [N·s].

Impuls siły J

J = F·Δt = Δp. Duża siła przez krótki czas (uderzenie) daje taki sam Δp jak mała siła przez długi czas. Poduszka powietrzna: duże Δt → mała F.

Zasada zachowania pędu

Dla układu izolowanego: p1+p2+… = const. Wektorowo! W 2D: osobno zachowany każdy składnik.

4

Wielkości i jednostki

Pęd i impuls

p [kg·m/s], J [N·s]=[kg·m/s], F [N], Δt [s]

p = mv; J = FΔt = Δp; [kg·m/s] = [N·s] — sprawdzaj!

Zderzenia

v1, v2 (przed), v1', v2' (po)

Sprężyste: p i Ek zachowane. Niesprężyste: tylko p zachowane.

Zapamiętaj

Izolowany układ = brak sił zewnętrznych LUB Δt jest tak krótkie, że impulsy sił zewnętrznych są pomijalnie małe (zderzenie chwilowe).

5

Modele i zasady

Szybka zasada

Zasada zachowania pędu: m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'. Wektorowo — w 1D używaj znaków (+ prawo, − lewo). W 2D: osobno x i y.

Szybka zasada

Zderzenie niesprężyste (scalanie): Ciała łączą się: (m1+m2)v' = m1v1+m2v2. Maksymalna utrata Ek ze wszystkich możliwych zderzeń przy danym p.

Szybka zasada

Zderzenie sprężyste (1D): Dwa równania: (1) zasada zach. p; (2) Ek1+Ek2 = Ek1'+Ek2'. Wynik: v1' = (m1−m2)v1/(m1+m2), v2' = 2m1v1/(m1+m2) gdy v2 = 0.

6

Mapa modelu pędu i zderzeń

Figura 1 · Przepływ myślenia

Mapa modelu pędu i zderzeń

1

Definicja pędu

p⃗=mv⃗\vec p = m\vec v[kg·m/s]wektor!
2

II zasada — impuls

F = Δp/ΔtImpuls J = FΔt = Δp[N·s]=[kg·m/s]
3

Zasada zachowania pędu

pprzedp_{\text{przed}} = ppop_{\text{po}}układ izolowany (ΣFzewnF_{\text{zewn}}=0)wektory!
4

Zderzenie sprężyste

p i Ek zachowanev1' i v2' ze wzorówp1+p2=p1'+p2'
5

Zderzenie niesprężyste

p zachowane, Ek nieczęść Ek → ciepło/dźwiękpo zderzeniu razem?
6

Zderzenie centralne

w jednej linii1D: skalarniev1 > v2 → zderzenie
7

Środek masy układu

vcmv_{\text{cm}} = Σmᵢvᵢ/Σmᵢukład izolowany: vcmv_{\text{cm}} = construch CM = RJP
8

Weryfikacja

pprzedp_{\text{przed}} = ppop_{\text{po}} (wektorowo)Ekpok_{\text{po}} ≤ Ekprzedk_{\text{przed}}sens v (>0?)
Przepływ 1→8:12345678
7

Teoria: wyprowadzenie i typy zderzeń

Pęd jako postać II zasady Newtona:

F⃗=ma⃗=mΔv⃗Δt=Δ(mv⃗)Δt=Δp⃗Δt\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{\Delta(m\vec{v})}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}

Stąd: F⃗Δt=Δp⃗\vec{F}\Delta t = \Delta\vec{p} — impuls siły = zmiana pędu.

Szybka zasada

Impuls siły — postać ogólna: Ogólnie impuls to J = ∫F(t)dt = Δp — czyli pole pod wykresem siły od czasu F(t). Dla siły stałej lub średniej upraszcza się do J ≈ FsˊrF_\text{śr}·Δt. Na maturze często dostajesz wykres F(t) i liczysz Δp jako pole pod nim.

Zderzenie sprężyste 1D (m2 w spoczynku, v2 = 0):

v1′=m1−m2m1+m2v1,v2′=2m1m1+m2v1v1' = \frac{m1 - m2}{m1 + m2}v1, \quad v2' = \frac{2m_1}{m1 + m2}v1

Przypadki szczególne:

m1 vs m2v1'v2'Interpretacja
m1 = m20v1Pełne przekazanie pędu (bilard)
m1 ≫ m2≈ v1≈ 2v1Ciężkie uderza lekkie
m1 ≪ m2≈ −v1≈ 0Lekkie odbija się, ciężkie nie ruszone

Zderzenie niesprężyste (scalanie):

v′=m1v1+m2v2m1+m2v' = \frac{m1 v1 + m2 v2}{m1 + m2}

Strata energii kinetycznej:

Estraty=Ek,przed−Ek,po=12m1m2m1+m2(v1−v2)2≥0E_{straty} = E_{k,przed} - E_{k,po} = \frac{1}{2}\frac{m1 m2}{m1 + m2}(v1 - v2)^2 \geq 0

Szybka zasada

Znak straty energii: Uwaga na konwencję: jeśli zdefiniujesz ΔEk\Delta Ek = Ek,poE_{k,\text{po}} − Ek,przedE_{k,\text{przed}}, to w zderzeniu niesprężystym ΔEk\Delta Ek ≤ 0 (energia maleje). Gdy mówimy o „stracie" jako liczbie dodatniej, używamy EstratyE_\text{straty} = Ek,przedE_{k,\text{przed}} − Ek,poE_{k,\text{po}} ≥ 0.

Szybka zasada

Środek masy: vcmv_\text{cm} = (m1v1 + m2v2)/(m1+m2). Dla układu izolowanego vcmv_\text{cm} = const. W układzie środka masy suma pędów = 0.

p = mv

pęd [kg·m/s]

J = FΔt = Δp

impuls

pprzedp_\text{przed} = ppop_\text{po}

zasada zachowania

v' = (m1v1+m2v2)/(m1+m2)

scalanie

vcmv_\text{cm} = Σmᵢvᵢ/Σmᵢ

środek masy

EstratyE_\text{straty} ≥ 0

energia tracona

8

Solver zadań ze zderzeniami

Solver · Procedura rozwiązania

Solver zadań ze zderzeniami — krok po kroku

Identyfikacja
1

Typ zderzenia

Sprężyste czy niesprężyste?

Ek zachowane?razem po zderzeniu?
2

Dane + znaki

v > 0 w prawą, v < 0 w lewą

konwencja znaków!SI
3

Układ izolowany?

Brak zewnętrznych sił poziomych

tarcie = siła zewn.krótkie Δt
Równania
4

Zasada zachowania p

m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'

skalary w 1Dze znakami!
5

Zderzenie spr. (2D)

Dodatkowo: Ek1+Ek2 = Ek1'+Ek2'

2 równania, 2 niewiadomev1' i v2'
6

Zderzenie niespr.

Po zderzeniu razem: v' = (m1v1+m2v2)/(m1+m2)

1 równanieprostsze
Wynik
7

Oblicz v' lub impulse

J = Δp = m·Δv; podstaw liczby

SI3 cs
8

Sprawdź Ek

Ek,extpoE_{k, ext{po}} ≤ Ek,extprzedE_{k, ext{przed}} (zawsze!)

ΔEk = energia stratnie może być >
9

Sens fizyczny

Lżejsze ciało odpycha się szybciej?

pextprzedp_ ext{przed} = pextpop_ ext{po}?znaki ok?
9

Doświadczenie: weryfikacja zasady zachowania pędu

Cel: sprawdzić pprzedp_\text{przed} = ppop_\text{po} dla zderzenia wózków na torze powietrznym.

Hipoteza: przy zderzeniu niesprężystym (rzep) suma pędów jest zachowana: m1v1 = (m1+m2)v'.

Szybka zasada

Warunek zachowania pędu w doświadczeniu: Tor ustaw możliwie poziomo (małe tarcie) i analizuj krótkie zderzenie — wtedy impuls sił zewnętrznych (tarcie, składowa grawitacji) jest pomijalny względem impulsu sił wewnętrznych, więc pęd układu jest zachowany.

ZmiennaTypOpis
v1 — prędkość przed zderzeniemniezależnaregulowana przez siłę pchania
m1, m2 — masy wózkówkontrolowanemierzone wagą
v' — prędkość po zderzeniuzależnaz czujnika ruchu
1

Ustaw dwa wózki na torze powietrznym; m1 z magnesem, m2 w spoczynku

wyzeruj czujniki
2

Pchnij m1 z mierzalną v1 (odczyt z czujnika)

zapisz v1
3

Zmierz v' po zderzeniu (wózki złączone)

zapisz v'
4

Oblicz pprzedp_\text{przed} = m1v1 i ppop_\text{po} = (m1+m2)v'

porównaj
5

Powtórz dla 5 różnych v1

wykreśl ppop_\text{po}(pprzedp_\text{przed}) — sprawdź y = x

Wzór:

v′=m1v1m1+m2v' = \frac{m1 v1}{m1 + m2}

Szybka zasada

Źródła niepewności: Tarcie w łożyskach toru (δp ≈ 2–5%), precyzja wyznaczenia v1 i v' z czujnika, nieidealne przyleganie magnesu.

Najważniejsza idea

Niepewność względna (PR): δv'/v' = δ(m1v1)/(m1v1) + δ(m1+m2)/(m1+m2) ≈ 3–5%. Potwierdzenie zasady w granicach niepewności.

Wniosek: ppop_\text{po}/pprzedp_\text{przed} ≈ 0,97 ± 0,03 — zasada zachowania pędu potwierdzona w granicach niepewności. Odchylenia od 1 wynikają z tarcia i impulsu siły normalnej przy zderzeniu.

10

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE): Kula m1 = 0,5 kg porusza się z v1 = 4 m/s i uderza w spoczywającą kule m2 = 1,5 kg (zderzenie niesprężyste). Oblicz: (a) v' po zderzeniu, (b) stratę energii kinetycznej.

a) Prędkość po zderzeniu:

v′=m1v1m1+m2=0,5⋅40,5+1,5=2,02,0=1,0 m/sv' = \frac{m1 v1}{m1 + m2} = \frac{0{,}5 \cdot 4}{0{,}5 + 1{,}5} = \frac{2{,}0}{2{,}0} = 1{,}0 \, m/s

b) Strata energii:

Ek,przed=12⋅0,5⋅16=4,0 JE_{k,przed} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 16 = 4{,}0 \, J

Ek,po=12⋅2,0⋅1,0=1,0 JE_{k,po} = \frac{1}{2} \cdot 2{,}0 \cdot 1{,}0 = 1{,}0 \, J

Estraty=Ek,przed−Ek,po=4,0−1,0=3,0 J(75% energii zamienione w ciepło/dzˊwięk)E_{straty} = E_{k,przed} - E_{k,po} = 4{,}0 - 1{,}0 = 3{,}0 \, J \quad (75\% \text{ energii zamienione w ciepło/dźwięk})

Zapamiętaj

Sprawdzenie: pprzedp_\text{przed} = 0,5·4 = 2 kg·m/s; ppop_\text{po} = 2,0·1,0 = 2 kg·m/s ✓. Zawsze najpierw sprawdź pęd!

11

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Granat m = 2 kg w spoczynku rozrywa się na dwa kawałki: m1 = 0,5 kg i m2 = 1,5 kg.

  1. Jaki jest pęd układu przed wybuchem?
  2. Jeśli m1 leci z v1 = 120 m/s w prawo, oblicz v2.
  3. (PR) Oblicz Ek każdego kawałka i łączną Ek po wybuchu. Skąd pochodzi ta energia?
12

Częste błędy

Pęd skalarny

Pęd jest wektorem. W 1D: znaki (+ prawo, − lewo). W 2D: zachowany osobno każdy składnik px i py.

Ek zachowana zawsze

Tylko przy zderzeniach sprężystych. Przy niesprężystych Ek maleje. Przy scalaniu maleje maksymalnie.

Zasada zachowania pędu zawsze

Tylko gdy układ izolowany (ΣFzewnF_\text{zewn} = 0 lub Δt → 0). Tarcie kinetyczne przez długi czas → pęd nie jest zachowany.

Impuls = siła

J = F·Δt = Δp. Impuls to iloczyn siły i czasu, równy zmianie pędu, nie samej sile.

v1' = 0 po zderzeniu zawsze

Tylko gdy m1 = m2 (zderzenie sprężyste). Generalnie v1' zależy od stosunku mas.

p1 = p2 po zderzeniu

Nie! p1 + p2 = p1' + p2' (suma pędów zachowana, nie indywidualne pędy).

13

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE

p = mv

pęd [kg·m/s]

J = FΔt = Δp

impuls

pprzedp_\text{przed} = ppop_\text{po}

zasada zach.

v' = Σmv/Σm

scalanie

EstratyE_\text{straty} ≥ 0

energia straty

p — wektor

znaki!

Zapamiętaj

Przed zadaniem: (1) izolowany układ? (2) sprężyste czy niesprężyste? (3) 1D czy 2D? (ze znakami lub składowymi!).

14

Kluczowe pojęcia

Pęd

p = mv [kg·m/s] — iloczyn masy i prędkości; wektor o kierunku zgodnym z v; miara "trudności zatrzymania"

Impuls siły

J = F·Δt = Δp; zmiana pędu równa impulsowi siły; duże F przez krótki czas lub mała F przez długi czas

Zasada zachowania pędu

dla układu izolowanego: p1+p2+…= const; obowiązuje nawet gdy Ek nie jest zachowana

Zderzenie sprężyste

p i Ek zachowane; ciała zachowują kształt; przykład: kulki stalowe, cząstki atomowe

Zderzenie niesprężyste

tylko p zachowane; część Ek → ciepło/dźwięk/odkształcenie; scalanie = maksymalna utrata Ek

Środek masy

xcmx_\text{cm} = Σmᵢxᵢ/Σmᵢ; vcmv_\text{cm} = Σmᵢvᵢ/Σmᵢ; dla układu izolowanego vcmv_\text{cm} = const

15

Sprawdź się i przećwicz

Pęd i zderzenia to jedno z ulubionych zagadnień CKE — sprawdź, czy zasada zachowania działa u Ciebie.

Sprawdzian z lekcji

~15 min

Pęd, impuls i zderzenia

Zrób sprawdzian

Zbiór zadań z fizyki

krok po kroku

Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku — przećwicz fizykę.

Przejdź do zadań

Matura próbna z fizyki

PR

Zasada zachowania pędu — CKE-style

Wypróbuj maturę próbną

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Pęd ciałap=mvp=mvZasada zachowania pędup⃗przed=p⃗po\vec{p}_{przed}=\vec{p}_{po}

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Pęd, zderzenia i zasady zachowania
16

Źródła, format CKE i materiały ZPE

Podstawa programowa MEN

MEN 2023 / zakres zgodny

Fizyka ZR, dział II pkt 3 — Dynamika. Zakres: pęd, impuls, zasada zachowania pędu, zderzenia sprężyste i niesprężyste.

Format CKE

matura PP+PR / pęd i zderzenia

Typowe zadania: zderzenia (scalanie, odbicie), wybuch, zasada zachowania pędu w 2D, strata energii kinetycznej. Punktacja: 2–4 pkt.

pędimpuls siłyzasada zachowania pęduzderzenie sprężystezderzenie niesprężysteśrodek masymatura fizyka ZR

Źródła: MEN — podstawa programowa 2023; CKE — informator maturalny PR 2023 i arkusze 2023–2025; ZPE — moduł pędu i zderzeń.

W tej lekcji

Postęp:6%
Zbiór zadańkrok po kroku Matura próbnaarkusz
← Poprzednia lekcja