Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Podręcznik›Fizyka›Dział FIZ.1.3›Hydrostatyka — ciśnienie, prawo Pascala i prawo Archimedesa

FIZ.1.3.4

Hydrostatyka — ciśnienie, prawo Pascala i prawo Archimedesa

p=ρgh, siła wyporu i warunki pływania

hydrostatykaciśnieniePascalArchimedessiła wyporupływaniegęstośćmatura fizyka ZR⏱ ~55 min

⏱ ~55 min

Hydrostatyka: ciśnienie, prawo Pascala i prawo Archimedesa

Po tej lekcji będziesz umieć

Obliczyć ciśnienie hydrostatyczne p = ρgh

i całkowite p₀ + ρgh

Zastosować prawo Pascala do prasy hydraulicznej

F₁/A₁ = F₂/A₂

Obliczyć siłę wyporu Archimedesa

$F$ = $\rho_\text{cieczy}$ · $V_\text{zanurzenia}$ ·g

Ocenić warunki pływania, tonięcia i wynurzania

przez porównanie $F$ z mg

Rozwiązać zadanie z pozorną masą ciała w cieczy

$m_\text{poz}$ = m − $F$ /g

Po co Ci to na maturze?

Hydrostatyka pojawia się w zadaniach z ciśnieniem w naczyniach, siłą wyporu, pływaniem — regularnie na PP i PR. Prawo Archimedesa jest jednym z najpopularniejszych tematów zadań doświadczalnych: wyznaczenie gęstości ciała przez ważenie w cieczy.

Najważniejsza idea

Siła wyporu zależy od OBJĘTOŚCI zanurzonej i gęstości CIECZY — nie od masy ani gęstości ciała zanurzonego. Zawsze $F$ = $\rho_\text{ciecz}$ · $V_\text{zan}$ ·g.

Intuicja zjawiska

Trzymasz pustkę piłki plażowej pod wodą — musisz użyć siły, bo woda chce ją wypchnąć. Ta siła to siła wyporu — równa ciężarowi wypartej wody (Archimedes). Im więcej wody wyparłeś (większe V), tym silniejsza siła wyporu.

Ciśnienie hydrostatyczne

p = ρgh. Na głębokości h woda naciska z wszystkich stron siłą ρgh na każdy cm². Rośnie liniowo z głębokością.

Prawo Pascala

Zmiana ciśnienia przenosi się bez zmiany na cały płyn. Prasa hydrauliczna: mała siła na dużą powierzchnię → duża siła na małą.

Prawo Archimedesa

$F$ = $\rho_\text{cieczy}$ · $V_\text{zan}$ ·g. Siła wyporu = ciężar wypartej cieczy. Niezależna od kształtu i masy ciała zanurzonego.

Wielkości i jednostki

Ciśnienie

p [Pa], ρ [kg/m³], h [m], g [m/s²]

p = ρgh; $p_\text{całk}$ = p₀+ρgh; 1 Pa = 1 N/m²; p₀ ≈ 10⁵ Pa

Wypór

$F$ [N], V [m³], $\rho_c$ [kg/m³]

$F$ = $\rho_c$ · $V_\text{zan}$ ·g; $\rho_\text{wody}$ = 1000 kg/m³; V w m³!

Zapamiętaj

Zawsze przeliczaj V na m³! 1 dm³ = 10⁻³ m³; 1 cm³ = 10⁻⁶ m³. Błąd o 10³ to typowa pułapka CKE przy sile wyporu.

Modele i zasady

Szybka zasada

Ciśnienie hydrostatyczne: p = $\rho_\text{cieczy}$ ·g·h. Zależy od głębokości h, nie od kształtu naczynia (prawo naczyń połączonych). $p_\text{całkowite}$ = $p_\text{atm}$ + $p_\text{hydro}$ = p₀ + ρgh.

Szybka zasada

Prawo Pascala: Przyrost ciśnienia Δp wywołany zewnętrzną siłą przenosi się w zamkniętej cieczy (lub gazie) jednakowo we wszystkich kierunkach — nie mylić z ciśnieniem hydrostatycznym ρgh, które zależy od głębokości. Prasa: Δp₁ = Δp₂ → F₁/A₁ = F₂/A₂. Przewaga: F₂/F₁ = A₂/A₁.

Szybka zasada

Prawo Archimedesa: $F$ = $\rho_c$ · $V_\text{zan}$ ·g. Pływa: $F$ = mg ( $V_\text{zan}$ < $V_\text{ciała}$ gdy $\rho_\text{śr}$ ciała < $\rho_c$ ). Tonie: $F$ < mg. Unosi się: $F$ > mg. Warunek pływania: średnia gęstość ciała $\rho_\text{śr}$ ≤ $\rho_\text{cieczy}$ (masa/objętość całkowita — dlatego stalowy statek pływa).

Mapa modelu hydrostatyki

Figura 1 · Przepływ myślenia

Mapa modelu hydrostatyki

Ciśnienie p [Pa]

p = F/A1 Pa = 1 N/m²skalar

Ciśnienie hydrostat.

p = ρghrośnie z głębokościąρ wody = 1000 kg/m³

Prawo Pascala

Δp przenosi się jednakowoprasa hydraulicznaF₁/A₁ = F₂/A₂

Prawo Archimedesa

F_{\text{wyporu}}

ρ_{\text{ciecz}}

V_{\text{zanurzenia}}

·gciało unosi się gdy

ρ_{\text{ciała}}

ρ_{\text{cieczy}}

F_{\text{w}}

ku górze

Warunki pływania

F_{\text{w}}

= mg (unosi się)

F_{\text{w}}

> mg (wynurza)

F_{\text{w}}

< mg (tonie)

Prasa hydrauliczna

p₁ = p₂F₁/A₁ = F₂/A₂A₂ > A₁ → F₂ > F₁

Ciśnienie atmosferyczne

p₀ = 101 325 Pa ≈ 10⁵ Pa1 atm = 101 325 Pa

p_{\text{całk}}

= p₀ + ρgh

Weryfikacja

Pa = N/m²

F_{\text{w}}

= ρVgV w m³!

Przepływ 1→8:12345678

Teoria: wzory i zastosowania

Ciśnienie hydrostatyczne:

$p = \rho g h, \quad p_{calk} = p$

Siła parcia na powierzchnię A na głębokości h:

$F = p \cdot A = (p$

Prawo Pascala — prasa hydrauliczna:

$p$

To wynika z równości przyrostów ciśnienia: Δp₁ = Δp₂. Prawo Pascala dotyczy właśnie przyrostu ciśnienia przekazywanego w zamkniętym płynie, a nie ciśnienia hydrostatycznego ρgh.

Prawo Archimedesa:

$F$

Warunki równowagi przy pływaniu:

Stan	Warunek	Konsekwencja
Pływa	$F$ = mg	$V_\text{zan}$ = m/( $\rho_c$ ) — część wystaje
Tonie	$F$ < mg	$\rho_\text{śr}$ ciała > $\rho_\text{cieczy}$
Unosi się do góry	$F$ > mg	$\rho_\text{śr}$ ciała < $\rho_\text{cieczy}$ (np. korek)

Uwaga: porównujemy średnią gęstość ciała (masa / objętość całkowita) z gęstością cieczy — dlatego pusty w środku statek, korek, drewno czy piłka mogą pływać, choć sam materiał bywa gęstszy od wody.

Pozorna masa ciała zanurzonego (wynik ważenia w cieczy):

$m_{poz} = m - \frac{F$

Stąd: $\rho_{ciała} = \frac{m}{m - m_{poz}} \cdot \rho_c$ — wyznaczanie gęstości metodą hydrostatyczną.

Szybka zasada

Ciśnienie a kształt naczynia: Ciśnienie zależy tylko od głębokości h i gęstości ρ — nie od objętości naczynia, jego kształtu ani masy cieczy powyżej. Dlatego prawo naczyń połączonych: poziom cieczy jest ten sam w połączonych naczyniach.

p = ρgh

ciśnienie hydrostatyczne

$p_\text{całk}$ = p₀ + ρgh

z atmosferycznym

$F$ = $\rho_c$ · $V_\text{zan}$ ·g

siła wyporu

F₁/A₁ = F₂/A₂

Pascal

$\rho_c$ = 1000 kg/m³

woda

1 dm³ = 10⁻³ m³

uwaga na V!

Solver hydrostatyki

Solver · Procedura rozwiązania

Solver hydrostatyki — krok po kroku

Identyfikacja

Typ zadania

Ciśnienie? Siła wyporu? Prasa? Pływanie?

p=ρgh

F

=ρVgprasa

Głębokość h i gęstość

ρ cieczy [kg/m³], h [m] — od powierzchni

ho_ ext{wody}

=1000 kg/m³h od góry cieczy

Ciśnienie p = ρgh

$p_ ext{całk}$ = p₀ + ρgh (włącznie z atmosf.)

p₀ = 10⁵ PaPa = N/m²

Wzory

Siła wyporu $F$

$F$ = $ho_ ext{cieczy}$ · $V_ ext{zanurzenia}$ · g

V w m³!ρ cieczy, nie ciała

Warunek pływania

$F$ = mg → $ho_ ext{ciała}$ · $V_ ext{ciała}$ ·g = $ho_ ext{ciecz}$ · $V_ ext{zan}$ ·g

V_ ext{zan}

V_ ext{ciała}

ho_c

ho_ ext{ciecz}

Prasa hydrauliczna

F₁/A₁ = F₂/A₂ (Pascala)

A₂/A₁ = F₂/F₁przewaga mech.

Wynik

Oblicz szukaną

Wstaw liczby, sprawdź SI

m³ nie cm³!Pa = N/m²

Pozorna masa w cieczy

$m_ ext{pozorne}$ = m − $F$ /g

waga ciała w cieczylżejsze!

Sens fizyczny

$F$ ≤ mg (zatonie lub unosi)? p > 0?

F

=mg gdy całkowicie zan.sprawdź

Doświadczenie: wyznaczenie gęstości ciała metodą hydrostatyczną

Cel: wyznaczyć gęstość ciała stałego przez ważenie w powietrzu i w wodzie.

Hipoteza: $F$ = $m_\text{pow}$ ·g − $m_\text{woda}$ ·g = $\rho_w$ ·V·g, stąd $\rho_\text{ciała}$ = $\rho_w$ · $m_\text{pow}$ /( $m_\text{pow}$ − $m_\text{woda}$ ).

Zmienna	Typ	Opis
$m_\text{pow}$ — masa w powietrzu	niezależna	odczyt z wagi
$m_\text{woda}$ — pozorna masa w wodzie	zależna	odczyt gdy ciało zawieszone w wodzie
$\rho_\text{ciała}$ — szukana	wynikowa	z wzoru hydrostatycznego

Zważ ciało w powietrzu: $m_\text{pow}$

zapis z dokładnością 0,01 g

Zawieś ciało na nitce i zanurz CAŁKOWICIE w wodzie — nie dotykając dna ani ścianek naczynia i bez pęcherzyków powietrza na powierzchni ( $\rho_w$ = 1000 kg/m³)

zmierz

m_\text{woda}

Oblicz $F$ = ( $m_\text{pow}$ − $m_\text{woda}$ )·g

wynik w niutonach

Oblicz $\rho_\text{ciała}$ = $\rho_w$ · $m_\text{pow}$ /( $m_\text{pow}$ − $m_\text{woda}$ )

wynik w kg/m³

Porównaj z tablicową gęstością materiału

aluminium: 2700, miedź: 8900, żelazo: 7800 kg/m³

Wzór na gęstość:

$\rho_{ciala} = \frac{m_{pow}}{m_{pow} - m_{woda}} \cdot \rho_w$

Szybka zasada

Źródła niepewności: Bąbelki powietrza na powierzchni ciała (zawyżają $F$ ), dokładność wagi (δm ≈ 0,01 g), temperatura wody ( $\rho_w$ (20°C) = 998 kg/m³ ≠ 1000).

Najważniejsza idea

Niepewność względna (PR): δρ/ρ = δ $m_\text{pow}$ / $m_\text{pow}$ + δ(Δm)/Δm, gdzie Δm = $m_\text{pow}$ − $m_\text{woda}$ . Gdy Δm jest małe (lekkie ciało), δρ rośnie — ważenie cięższych obiektów jest dokładniejsze.

Wniosek: Wyznaczona gęstość ρ ≈ (2720 ± 50) kg/m³ — zgodna z gęstością aluminium (2700 kg/m³). Metoda hydrostatyczna dokładna do ~2%.

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE): Kula stalowa ( $\rho_\text{stal}$ = 7800 kg/m³) o objętości V = 500 cm³ jest zanurzona całkowicie w wodzie ( $\rho_w$ = 1000 kg/m³, g = 10 m/s²). Oblicz: (a) siłę wyporu, (b) ciężar kuli, (c) wypadkową siłę na kulę.

a) Siła wyporu:

$F$

b) Ciężar kuli:

$G = \rho_{stal} \cdot V \cdot g = 7800 \cdot 500 \cdot 10^{-6} \cdot 10 = 39{,}0 \, N$

c) Wypadkowa (w górę = plus):

$F_{wyp} = F$

Zapamiętaj

Zawsze V w m³: 500 cm³ = 500·10⁻⁶ m³ = 5·10⁻⁴ m³. Pułapka: użycie cm³ bez przeliczenia daje wynik 10⁶ razy za duży.

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Korek (ρ = 200 kg/m³, V = 100 cm³) jest całkowicie zanurzony w wodzie ( $\rho_w$ = 1000 kg/m³, g = 10 m/s²).

Oblicz siłę wyporu $F$ .
Oblicz ciężar korka G.
Jaka wypadkowa siła działa na korek? W którą stronę?
(PR) Jak głęboko zanurzy się korek gdy wypłynie i ustabilizuje (pływanie)?

Częste błędy

$F$ = $\rho_\text{ciała}$ ·V·g

Nie! $F$ = $\rho_\text{CIECZY}$ · $V_\text{zanurzenia}$ ·g. Gęstość ciała nie wpływa na siłę wyporu!

V w cm³ bezpośrednio do wzoru

Nie! Zawsze przelicz: 1 cm³ = 10⁻⁶ m³. Bez przeliczenia $F$ jest 10⁶ razy za duże.

Ciśnienie zależy od kształtu naczynia

Nie! p = ρgh zależy tylko od głębokości i gęstości cieczy. Naczynia połączone: poziom cieczy jest ten sam niezależnie od przekroju.

Korek pływa zawsze gdy ρ < $\rho_\text{wody}$

Tylko gdy może swobodnie wypłynąć. Gdy jest przyciągnięty — ciągniemy go w dół siłą F = $F$ − G.

$F$ zależy od głębokości zanurzenia

Nie! $F$ = $\rho_c$ · $V_\text{zan}$ ·g — gdy ciało całkowicie zanurzone, $V_\text{zan}$ = V = const, więc $F$ = const niezależnie od głębokości.

Pascal: siły równe

Nie! Ciśnienia równe: p₁ = p₂ → F₁/A₁ = F₂/A₂. Siły różne! F₂ = F₁·A₂/A₁.

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE

p = ρgh

ciśnienie hydrost.

$p_\text{całk}$ = p₀+ρgh

z atmosf.

$F$ = $\rho_\text{CIECZY}$ ·V·g

wypór

F₁/A₁ = F₂/A₂

Pascal

V: 1 cm³ = 10⁻⁶ m³

przelicz!

$\rho_\text{wody}$ = 1000 kg/m³

zapamiętaj

Zapamiętaj

Trzy pytania: (1) pływa/tonie/unosi? ( $F$ vs mg); (2) V w m³?; (3) ciśnienie całkowite czy tylko hydrost.? (p₀ + ρgh).

Kluczowe pojęcia

Ciśnienie hydrostatyczne

p = ρgh [Pa]; rośnie z głębokością; nie zależy od kształtu naczynia ani pola powierzchni

Prawo Pascala

przyrost ciśnienia Δp przenosi się bez zmiany w każdym kierunku w zamkniętym płynie; prasa: F₁/A₁ = F₂/A₂

Prawo Archimedesa

$F$ = $\rho_\text{cieczy}$ · $V_\text{zan}$ ·g; siła wyporu = ciężar wypartej cieczy; niezależna od ρ ciała

Siła wyporu

$F$ = $\rho_c$ · $V_\text{zan}$ ·g; zawsze skierowana w górę; zależy od $V_\text{zanurzonej}$ i ρ CIECZY

Warunek pływania

$F$ = mg → $\rho_\text{śr}$ ciała· $V_\text{ciała}$ = $\rho_\text{cieczy}$ · $V_\text{zan}$ ; ciało pływa, gdy jego średnia gęstość $\rho_\text{śr}$ ≤ $\rho_\text{cieczy}$ (a tonie, gdy $\rho_\text{śr}$ > $\rho_\text{cieczy}$ )