Zasada zachowania energii mechanicznej i sprawność

ZZE jest ulubionym narzędziem CKE — znacznie szybsze niż kinematyka, bo omija t i a. Pojawia się w zadaniach z ślizgawkami, kulami na sznurku, wahadłami, sprężynami. Na PR obowiązkowe jest zadanie doświadczalne z wahadłem lub sprężyną.

Huśtawka: na górze zatrzymuje się (Ek = 0, Ep = max), na dole pędzi (Ek = max, Ep = 0). Suma zawsze taka sama — energia przełącza się między kinetyczną a potencjalną. Gdyby nie tarcie i opór powietrza, huśtałaby się wiecznie.

Swobodny spadek (Ep → Ek):

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh} \quad (\text{niezależne od masy})$

Ślizgawka z tarciem:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + f$_k \cdot l \implies v = \sqrt{2gh - \frac{2f_k l}{m}} = \sqrt{2g(h - \mu_k l\cos\theta)}

Wahadło matematyczne:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, \quad g = \frac{4\pi^2 L}{T2}$

Sprężyna (MHO):

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \quad f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Amplituda A: $\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \implies v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}} = A\omega$

Sprawność:

Ogólnie sprawność to stosunek energii (lub mocy) użytecznej do dostarczonej:

$\eta = \frac{E_{uż}}{E_{dost}} = \frac{P_{uż}}{P_{dost}} \leq 1$

Gdy porównujemy energię mechaniczną w dwóch jasno określonych stanach (przed/po), można użyć skrótu:

$\eta = \frac{E_{m,po}}{E_{m,przed}} = 1 - \frac{f$_k \cdot \Delta s}{E_{m,przed}} = 1 - \frac{\mu_k N \cdot \Delta s}{E_{m,przed}}

Cel: wyznaczyć g przez pomiar okresu T wahadła długości L.

Hipoteza: T = 2π√(L/g), więc g = 4π²L/T². Wykres T²(L) powinien być prostą przez 0, nachylenie = 4π²/g.

Wzór na g:

$g = \frac{4\pi^2 L}{T2}$

Wniosek: g = (9,78 ± 0,20) m/s² — zgodne z tablicową w granicach niepewności. Izochornizm wahadła potwierdzony: T nie zależy od masy kulki ani małej amplitudy.

Zadanie (styl CKE): Kulka m = 0,3 kg ześlizguje się bez tarcia z wysokości h = 2,0 m po gładkiej ślizgawce. Jaka jest jej prędkość u dołu? Następnie wchodzi w sprężynę k = 600 N/m i ją ściska. Jakie jest maksymalne ugięcie?

1. Prędkość u dołu (Ep → Ek):

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2{,}0} = \sqrt{40} \approx 6{,}32 \, m/s$

2. Maks. ugięcie sprężyny (Ek → Esp):

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2 \implies x = v\sqrt{\frac{m}{k}} = 6{,}32 \cdot \sqrt{\frac{0{,}3}{600}} \approx 6{,}32 \cdot 0{,}0224 \approx 0{,}141 \, m$

Tu $x$ to maksymalne ugięcie sprężyny mierzone od położenia nieodkształconego (równowagi) — nie mylić z całkowitą drogą kulki.

Huśtawka (L = 2,5 m) zostaje odchylona o h = 0,5 m (pionowa różnica wysokości).

1. Oblicz prędkość w najniższym punkcie (ZZE).
2. Oblicz okres wahadła T.
3. (PR) Na ułamku drogi traci 10% energii przez tarcie. Jaka będzie prędkość w najniższym punkcie?

To zapamiętaj przed zadaniami CKE