Ruch harmoniczny prosty — kinematyka drgań
x=A·cos(ωt+φ0), =Aω, =Aω2 i pulsacja ω=2π/T
Po tej lekcji będziesz umieć
Zapisać równanie ruchu harmonicznego x = A·cos(ωt+φ0)
i wyjaśnić każdy parametr
Obliczyć v(t) i a(t) z równania x(t)
v = −Aω·sin(ωt+φ0), a = −Aω2·cos(ωt+φ0)
Wyznaczyć ω, T i f z danych zadania
ω = 2π/T = 2πf; T = 2π/ω
Podać wartości ekstremal: i
= Aω, = Aω2
Wyjaśnić związek między x, v i a w różnych chwilach
x=max ↔ v=0, a=max
Po co Ci to na maturze?
Ruch harmoniczny prosty (RHP) to fundament działu drgań i fal — zarówno PP jak i PR. Zadania z równaniem ruchu, obliczaniem , i wyznaczaniem T z ω pojawiają się regularnie. Na PR: wyprowadzenie związku a = −ω2x z II zasady Newtona i identyfikacja ruchu jako RHP.
Najważniejsza idea
Cecha definicyjna RHP: przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia i skierowane przeciwnie — a = −ω2x. Każde ciało, dla którego spełniony jest ten warunek (siła F = −kx), wykonuje ruch harmoniczny prosty.
Intuicja zjawiska
Ciężarek na sprężynie: w maksymalnym wychyleniu stoi w miejscu (v=0) i ma największe przyspieszenie (powrót do równowagi). W położeniu równowagi: leci z max prędkością, ale nie przyspiesza (a=0). To wzajemna zamiana energii: Ep(sprężyny) ↔ Ek(ciężarka).
Równanie ruchu
x(t) = A·cos(ωt+φ0) [m]. A — amplituda, ω — pulsacja [rad/s], φ0 — faza początkowa. x=A przy t=0, φ0=0 (start w max wychyleniu).
Prędkość i przyspieszenie
v(t) = −Aω·sin(ωt+φ0) [m/s]. a(t) = −Aω2·cos(ωt+φ0) [m/s2]. a = −ω2x: przyspieszenie ∝ wychyleniu (przeciwny znak!).
Pulsacja i okres
ω = 2π/T = 2πf [rad/s]. T [s] — czas jednego pełnego drgania. f = 1/T [Hz] — liczba drgań na sekundę. = Aω; = Aω2.
Wielkości i jednostki
Amplituda A :: [m] :: maksymalne wychylenie od położenia równowagi; A 0 zawsze; w idealnym RHP bez tłumienia A = const (przy tłumieniu maleje w czasie) Pulsacja ω :: [rad/s] :: ω = 2π/T = 2πf; określa jak szybko zmienia się faza; NIE to samo co f Faza począ…
Modele i zasady
:rule Równanie różniczkowe RHP a = −ω²x → d²x/dt² + ω²x = 0. Rozwiązanie: x = A·cos(ωt+φ₀).
Mapa ruchu harmonicznego prostego
Teoria: wzory i interpretacje
Równanie kinematyczne RHP: x(t) = A\cos(\omega t + \varphi 0) Prędkość i przyspieszenie: v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi 0), \quad a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi 0) = -\omega^2 x Warunek RHP: ruch jest harmoniczny prosty, gdy przyspieszenie…
Solver ruchu harmonicznego
:solver-rhp
Doświadczenie: wyznaczenie ω z wykresu x(t)
Cel: ze zmierzonego wykresu wychylenia x(t) odczytać A, T i obliczyć ω, v {\max} , a {\max} . Hipoteza: wykres x(t) jest sinusoidą o amplitudzie A i okresie T → ω = 2π/T.
Przykład rozwiązany
Zadanie (styl CKE PR): Ciało wykonuje RHP wg x(t) = 0,08·cos(5πt) [m]. Oblicz: (a) amplitudę i okres, (b) prędkość i przyspieszenie w chwili t = 0,1 s, (c) maksymalną prędkość.
Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam
Ciało drgające: A = 5 cm, T = 0,2 s. 1.
Częste błędy
ω = f (mylenie pulsacji z częstotliwością) :: ω = 2πf. Gdy f = 3 Hz, ω = 6π ≈ 18,85 rad/s, nie 3.
Powtórka w 30 sekund
To zapamiętaj przed zadaniami CKE x = A·cos(ωt+φ₀) :: RHP v = −Aω·sin :: prędkość a = −ω²x :: definicja RHP ω = 2π/T = 2πf :: pulsacja v {\max} = Aω :: maks. a {\max} = Aω² :: maks.
Kluczowe pojęcia
Ruch harmoniczny prosty :: ruch, w którym a = −ω²x; równanie: x=A·cos(ωt+φ₀); siła quasi-sprężysta F=−kx Amplituda A :: maksymalne wychylenie od równowagi [m]; stała w RHP (bez tłumienia) Pulsacja ω :: ω = 2π/T = 2πf [rad/s]; określa szybkość zmiany fazy; ω…
Sprawdź się i przećwicz
sub :: Ruch harmoniczny prosty to fundament całego działu drgań — sprawdź, czy odczytujesz parametry z równania i liczysz wartości ekstremalne. sprawdzian :: Kinematyka ruchu harmonicznego — x(t), v(t), a(t) :: 15 min zbior :: Zadania maturalne z rozwiązan…
Wzory w tablicach
Powiązane wzory maturalne
Powtórka do matury
Ten temat na maturze
Źródła, format CKE i materiały ZPE
men :: Fizyka ZR, dział VI pkt 1 — Ruch harmoniczny prosty. Zakres: równanie ruchu, prędkość, przyspieszenie, pulsacja, amplituda, faza.
W tej lekcji
ZJAWISKO I MODEL
DOŚWIADCZENIE