Energia drgań, wahadło matematyczne i rezonans
E=½kA2=const, T=2π√(l/g), T=2π√(m/k), rezonans f=f0
Po tej lekcji będziesz umieć
Obliczyć całkowitą energię drgań E = ½kA2 = ½mω2A2
i wyjaśnić że E = const
Zastosować ZZE w RHP: prędkość z wychylenia v = ω√(A2−x2)
bez potrzeby znania t
Obliczyć okres wahadła T = 2π√(l/g)
i wyjaśnić niezależność od masy i amplitudy (małe kąty)
Obliczyć okres sprężyny T = 2π√(m/k)
i pulsację ω = √(k/m)
Opisać rezonans i podać jego warunek
= f0 własna → amplituda max
Po co Ci to na maturze?
Zadania o energii w RHP i wahadle to klasa obowiązkowa na PR — obliczanie , v z ZZE, T wahadła i sprężyny. Na PP: wahadło (T=2π√(l/g)) i jakościowy opis rezonansu. Rezonans pojawia się jako kontekst zadań o katastrofach (mosty, budynki) lub zastosowaniach (MRI, instrumenty).
Najważniejsza idea
ZZE w RHP: = + = ½mv2 + ½kx2 = ½kA2 = const. W każdej chwili sumą jest to samo — dlatego maksymalna prędkość jest w x=0 (cała energia kinetyczna), a maksymalne wychylenie w v=0 (cała energia potencjalna).
Intuicja zjawiska
Wahadło: masa i grubość liny nie ma znaczenia — liczy się tylko długość. Dlatego Foucault użył ciężkiego wahadła (duże L) żeby T był długi i efekt rotacji Ziemi był widoczny. Rezonans: kołysanka pchana we właściwym rytmie — każde pchnięcie w fazie kumuluje energię → amplituda rośnie bez ograniczeń (w modelu bez tłumienia).
Energia całkowita
E = ½kA2 = ½mω2A2 = const [J]. = ½mv2, = ½kx2. ZZE: + = . Max przy x=0, max przy x=A.
Wahadło matematyczne
T = 2π√(l/g) [s]. Niezależne od masy i amplitudy (kąt < 15°). g z wahadła: g = 4π2l/T2. Klasyczna metoda wyznaczenia g.
Sprężyna i rezonans
Sprężyna: T = 2π√(m/k), ω0 = √(k/m). Rezonans: = f0 → A → max. Tłumienie: A(t) = A0·e^(−γt), E tłumiona jako ciepło.
Wielkości i jednostki
Energia E \text{tot} :: [J] :: E = ½kA²; stała (bez strat); E k + E p = E \text{tot} w każdej chwili Stała sprężyny k :: [N/m] :: k = mω²; F = −kx (Hooke); ω = √(k/m) Długość wahadła l :: [m] :: od punktu zawieszenia do środka masy; T = 2π√(l/g) :key Wahadł…
Modele i zasady
:rule Zasada zachowania energii w RHP E = ½mv² + ½kx² = ½kA² = const. Prędkość w funkcji wychylenia: v = ω√(A²−x²).
Mapa energii drgań i rezonansu
Teoria: wzory i interpretacje
Energia w RHP: E {tot} = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \text{const} E k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2-x^2), \quad E p = \frac{1}{2}kx^2 Prędkość z ZZE: v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} Wahadło matematyczne (kąt < 15°): T {wah} = 2\pi…
Solver energii drgań
:solver-energia-drg
Doświadczenie: wyznaczenie g z wahadła matematycznego
Cel: wyznaczyć przyspieszenie ziemskie g z pomiaru T i l wahadła. Hipoteza: g = 4π²l/T² (z T = 2π√(l/g)).
Przykład rozwiązany
Zadanie (styl CKE PR): Ciężarek 0,5 kg na sprężynie k = 50 N/m drgała z amplitudą A = 4 cm. Oblicz: (a) E \text{tot} , (b) prędkość w x = 2 cm, (c) okres T.
Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam
Wahadło o długości l = 0,99 m wychylone o małe kąty. 1.
Częste błędy
T wahadła zależy od masy :: T = 2π√(l/g) — masa nie występuje. Różne ciężarki na tej samej linie mają ten sam T.
Powtórka w 30 sekund
To zapamiętaj przed zadaniami CKE E = ½kA² :: energia RHP v = ω√(A²−x²) :: ZZE T \text{wah} = 2π√(l/g) :: wahadło T \text{spr} = 2π√(m/k) :: sprężyna g = 4π²l/T² :: z wahadła f \text{drg} = f₀ → max A :: rezonans :key Wahadło: T nie zależy od m i A. Spręży…
Kluczowe pojęcia
Energia całkowita w RHP :: E = ½kA² = const; E k + E p = E \text{tot} ; E k max przy x=0, E p max przy x=±A Prędkość z ZZE :: v = ω√(A²−x²); wynika z E k = E \text{tot} − E p ; v {\max} = Aω (przy x=0) Wahadło matematyczne :: T = 2π√(l/g); model: masa punkt…
Sprawdź się i przećwicz
sub :: Energia i wahadło to klasyka maturalna — sprawdź, czy T wahadła liczysz bez masy i czy ZZE nie sprawia Ci problemów. sprawdzian :: Energia RHP, wahadło i sprężyna — T i v :: 15 min zbior :: Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku — przećwicz…
Wzory w tablicach
Powiązane wzory maturalne
Powtórka do matury
Ten temat na maturze
Źródła, format CKE i materiały ZPE
men :: Fizyka ZR, dział VI pkt 2 — Energia drgań, wahadło, sprężyna. Zakres: E \text{tot} , ZZE, T wahadła, rezonans.
W tej lekcji
ZJAWISKO I MODEL