NexTutor
Dział MAT.1.3›Układy równań — metoda wyznacznikowa i zadania tekstowe

Układy równań — metoda wyznacznikowa i zadania tekstowe

Klasa 1Podstawa + PROd układu do punktów przecięcia

Metoda wyznacznikowa to szybki sposób rozwiązywania układów 2×2, jeśli dobrze podstawisz współczynniki do wzorów. W zadaniach tekstowych najważniejsze jest jednak nie samo liczenie, tylko poprawne ułożenie dwóch równań z treści.

⏱ ~30 min
Układy równań — metoda wyznacznikowa i zadania tekstowe

Po co Ci ten temat?

Ta lekcja ma dwa cele. Pierwszy: poznać metodę wyznacznikową — gotowy schemat na układ z „brzydkimi" współczynnikami (to wiedza dodatkowa, nieobowiązkowa na poziomie podstawowym). Drugi, ważniejszy maturalnie: umieć z treści zadania ułożyć sensowny układ. Na końcu dochodzi rozszerzenie ROW.12 — układ, w którym jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Metoda wyznacznikowa (Wiedza+). Dla układu

{ax+by=cdx+ey=f\begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases}

liczymy wyznaczniki, podmieniając kolumny wynikami c,fc,f:

W=∣abde∣=ae−bdW=\begin{vmatrix} a & b\\ d & e \end{vmatrix}=ae-bd Wx=∣cbfe∣=ce−bf,Wy=∣acdf∣=af−cdWx=\begin{vmatrix} c & b\\ f & e \end{vmatrix}=ce-bf,\qquad Wy=\begin{vmatrix} a & c\\ d & f \end{vmatrix}=af-cd

Jeśli W≠0W\neq 0, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:

x=WxW,y=WyWx=\frac{Wx}{W},\qquad y=\frac{Wy}{W}

Uwaga: gdy W=0W=0, nie wolno dzielić przez WW — układ jest wtedy sprzeczny (brak rozwiązań) albo nieoznaczony (nieskończenie wiele); rozpoznajemy go osobno.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Metoda wyznacznikowa 2×2:

  1. Doprowadź układ do postaci ax+by=cax+by=c oraz dx+ey=fdx+ey=f.
  2. Odczytaj a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f i oblicz W=ae−bdW=ae-bd.
  3. Jeśli W≠0W\neq 0, oblicz WxWx i WyWy, a potem x=WxWx=\tfrac{Wx}{W}, y=WyWy=\tfrac{Wy}{W}.
  4. Sprawdź wynik w obu równaniach.

Zadanie tekstowe:

  1. Nazwij niewiadome (x=…x=\ldots, y=…y=\ldots) z jednostkami.
  2. Z każdej informacji ułóż jedno równanie.
  3. Rozwiąż układ wybraną metodą i odpowiedz pełnym zdaniem (sprawdź sens).

Przykład

Przykład rozwiązany

Rozwiąż metodą wyznacznikową {2x+3y=13x−y=1\begin{cases} 2x+3y=13\\ x-y=1 \end{cases}. Współczynniki: a=2,b=3,c=13a=2,b=3,c=13, d=1,e=−1,f=1d=1,e=-1,f=1.

W=2⋅(−1)−3⋅1=−5W=2\cdot(-1)-3\cdot 1=-5 Wx=13⋅(−1)−3⋅1=−16,Wy=2⋅1−13⋅1=−11Wx=13\cdot(-1)-3\cdot 1=-16,\qquad Wy=2\cdot 1-13\cdot 1=-11 x=−16−5=165,y=−11−5=115x=\frac{-16}{-5}=\frac{16}{5},\qquad y=\frac{-11}{-5}=\frac{11}{5}

Mini-zadanie: {x+y=8x−y=2\begin{cases} x+y=8\\ x-y=2 \end{cases} — tu szybciej przeciwne współczynniki: 2x=102x=10, więc x=5x=5, y=3y=3.

Wzorzec

Rozszerzenie PR — ROW.12: układ liniowo-kwadratowy

Wizualizacja· Układ liniowo-kwadratowy — prosta i parabola
Trzy wykresy układu prosta–parabola: dwa punkty przecięcia (Δ>0), styczna (Δ=0) i brak przecięcia (Δ<0)
Rozwiązania układu liniowo-kwadratowego to punkty wspólne prostej i paraboli. Po podstawieniu liczba rozwiązań zależy od delty: Δ>0 dwa punkty, Δ=0 styczna (jeden), Δ<0 brak.

Co zauważyć: Z układu y=ax+b i y=px²+qx+r podstawiamy i dostajemy równanie kwadratowe px²+qx+r=ax+b. Liczba jego rozwiązań = liczba punktów wspólnych prostej i paraboli.

Gdy jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe, rozwiązaniem są punkty przecięcia prostej z parabolą (albo okręgiem, hiperbolą) — może ich być 00, 11 lub 22.

Infografika

Układ liniowo-kwadratowy (ROW.12) — jak rozwiązać?

prosta spotyka parabolę

1

Z równania liniowego wyznacz y (lub x)

np. y = 2x+1

2

Podstaw do równania kwadratowego

2x+1 = x²−3 → x²−2x−4=0

3

Rozwiąż równanie kwadratowe

policz Δ; liczba rozwiązań x = liczba punktów przecięcia

4

Dla każdego x policz y

rozwiązaniem są PARY (x • y)

5

Zinterpretuj geometrycznie

Δ>0 → 2 punkty • Δ=0 → 1 (styczna) • Δ<0 → 0

Pamiętaj: Liczba rozwiązań układu = liczba punktów wspólnych prostej i paraboli.

Przykład ROW.12. Rozwiąż {y=2x+1y=x2−3\begin{cases} y=2x+1\\ y=x2-3 \end{cases}. Podstawiamy:

2x+1=x2−3  ⇒  x2−2x−4=02x+1=x2-3 \;\Rightarrow\; x2-2x-4=0 Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−4)=20  ⇒  x=1±5\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20 \;\Rightarrow\; x=1\pm\sqrt{5} y=2(1±5)+1=3±25y=2(1\pm\sqrt{5})+1=3\pm 2\sqrt{5}

Odpowiedź: dwa punkty przecięcia (1−5, 3−25)(1-\sqrt{5},\ 3-2\sqrt{5}) oraz (1+5, 3+25)(1+\sqrt{5},\ 3+2\sqrt{5}).

Podstawianie vs metoda wyznacznikowa

wyznaczniki to Wiedza+ (nieobowiązkowe na PP)

podstawianie / przeciwne
wyznaczniki (Wiedza+)
podstawowe na PP, zawsze działa
1
gotowy schemat W, Wx, Wy
dobre do prostych układów i tekstowych
2
wygodne przy „brzydkich" współczynnikach

Na maturze PP ważniejszy jest poprawny MODEL (układ z treści) niż wybór metody.

Sprawdź się — mini-check
  • Wyznacznikowa: rozwiąż 2x+3y=13 oraz x−y=1.
  • ROW.12: rozwiąż y=x+1 oraz y=x²−3.
  • W=0: co robisz, gdy wyznacznik główny jest zerem?
  • Tekstowe: 2 bilety normalne i 3 ulgowe to 76 zł; normalny o 8 zł droższy — ceny?
  • Geometria: ile punktów wspólnych ma prosta styczna do paraboli?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

  • Liczenie wyznaczników z nieuporządkowanego układu. Najpierw doprowadź do postaci ax+by=cax+by=c, dx+ey=fdx+ey=f (np. 2x=3y+52x=3y+5 to 2x−3y=52x-3y=5).
  • Dzielenie przez WW, gdy W=0W=0. Sprawdź W≠0W\neq 0; przy W=0W=0 układ jest sprzeczny lub nieoznaczony.
  • Mylenie WxWx i WyWy. W WxWx podmieniasz kolumnę przy xx na wyniki, w WyWy — kolumnę przy yy.
  • Brak opisu niewiadomych w zadaniu tekstowym. Najpierw zapisz, co oznacza xx i yy (z jednostkami).
  • ROW.12 tylko z xx, bez yy. Rozwiązaniem są pary (x,y)(x,y) — każdy xx ma swoje yy.
  • Brak interpretacji geometrycznej. Liczba rozwiązań = liczba punktów przecięcia (prosta i parabola: 00, 11 lub 22).

Jak to wygląda na maturze?

Metoda wyznacznikowa nie zawsze jest wymagana — najważniejsza jest umiejętność ułożenia układu. Przykład: za 22 bilety normalne i 33 ulgowe zapłacono 7676 zł, a normalny jest o 88 zł droższy. Oznaczamy xx — cena normalnego, yy — ulgowego:

{2x+3y=76x−y=8\begin{cases} 2x+3y=76\\ x-y=8 \end{cases}

Z drugiego x=y+8x=y+8, podstawiamy: 2(y+8)+3y=76⇒5y=60⇒y=122(y+8)+3y=76 \Rightarrow 5y=60 \Rightarrow y=12, x=20x=20. Odpowiedź: normalny 2020 zł, ulgowy 1212 zł.

Wskazówka maturalna: w zadaniu tekstowym poprawny model (oznaczenie i układ) jest ważniejszy niż wybór metody.

Kluczowe pojęcia

Metoda wyznacznikowa

Sposób rozwiązywania układu równań przez obliczenie wyznaczników W, Wx i Wy

Wyznacznik główny W

Liczba obliczana ze współczynników przy x i y; gdy W≠0, układ ma jedno rozwiązanie

Wx

Wyznacznik, w którym kolumnę współczynników przy x zastępuje się wynikami równań

Wy

Wyznacznik, w którym kolumnę współczynników przy y zastępuje się wynikami równań

Model matematyczny

Równania ułożone z treści zadania, które opisują daną sytuację

Materiały ZPE

3 materiały

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Układy równań liniowych — zastosowania
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:11%
← Poprzednia lekcja