NexTutor
Dział MAT.1.4›Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Klasa 1PodstawaCzytaj wykres po osiach

Wykres funkcji to mapa odpowiedzi: z osi X czytasz argumenty, z osi Y wartości, a z przecięć i najwyższych punktów odczytujesz miejsca zerowe, znak, maksimum i minimum. Największy błąd to odpowiadać wartościami y, gdy pytanie dotyczy argumentów x.

⏱ ~26 min
Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Po co Ci ten temat?

Na sprawdzianie i maturze możesz dostać wykres bez wzoru — i to często wystarcza do rozwiązania całego zadania. Trzeba tylko wiedzieć, co dokładnie odczytać. Większość błędów bierze się nie z trudnych obliczeń, lecz z pomylenia osi albo z odpowiedzi na inne pytanie niż zadane.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Najważniejsze: zanim odpowiesz, zapytaj siebie — czy mam podać xx, czy yy?

PytanieZ której osiOdpowiedź
Dziedzina DfDfOXOX (poziomo)przedział argumentów xx
Zbiór wartości WfWfOYOY (pionowo)przedział wartości yy
Miejsca zeroweprzecięcia z OXOXargumenty xx, dla których f(x)=0f(x)=0
Znak: f(x)>0f(x)>0 / f(x)<0f(x)<0nad / pod OXOXprzedziały argumentów xx
Wartość największa/najmniejszanajwyższy / najniższy punktwartość yy (argument to xx)

Uwaga kluczowa: największa wartość funkcji to yy, ale pytanie może dotyczyć argumentu xx, dla którego jest osiągana. To dwa różne pytania.

Wizualizacja· Właściwości funkcji z wykresu
Wykres funkcji z oznaczoną dziedziną, zbiorem wartości, miejscami zerowymi, znakiem funkcji oraz maksimum i minimum
Z jednego wykresu możesz odczytać dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, znak funkcji oraz wartości największe i najmniejsze.

Co zauważyć: Najpierw ustal, czy pytanie dotyczy argumentów x, czy wartości y. Dziedzinę czytasz poziomo, zbiór wartości pionowo.

Infografika

Co czytam z której osi?

najpierw zapytaj: x czy y?

1

Dziedzina D_f

oś OX (poziomo) — zakres argumentów

2

Zbiór wartości W_f

oś OY (pionowo) — zakres wartości

3

Miejsca zerowe i znak

przecięcia z OX; nad OX f(x)>0 • pod OX f(x)<0

4

Max/min: wartość czy argument?

wartość to y; „dla jakiego x" to argument x

Pamiętaj: Jeśli pytanie zaczyna się „dla jakich x", odpowiedź jest po osi poziomej. Sprawdzaj skalę osi i końce (kółko otwarte/zamknięte).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

  1. Przeczytaj pytanie i ustal, czy chodzi o argumenty xx, czy wartości yy.
  2. Dziedzina — zakres wykresu w poziomie; zbiór wartości — zakres w pionie.
  3. f(a)f(a) — znajdź x=ax=a i odczytaj yy.
  4. f(x)>0f(x)>0 — zaznacz fragment wykresu nad osią OXOX i odczytaj przedziały xx.
  5. Maksimum/minimum — znajdź najwyższy/najniższy punkt; zapisz wartość yy, chyba że pytają o argument (wtedy xx).

Przykład

Przykład rozwiązany

Z wykresu widać punkty (−2,0)(-2,0), (0,3)(0,3), (4,0)(4,0), a najwyższy punkt to (0,3)(0,3).

  • Miejsca zerowe: x=−2x=-2 oraz x=4x=4 (tam wykres przecina oś OXOX).
  • f(0)f(0): f(0)=3f(0)=3 (dla x=0x=0 wartość y=3y=3).
  • Największa wartość: 33 (najwyższy punkt ma y=3y=3), osiągana dla x=0x=0.

Przykład odczytu pełnych własności: Df=[−5,6]Df=[-5,6], Wf=[−2,4]Wf=[-2,4], miejsca zerowe x=−2x=-2 i x=3x=3, a f(x)>0f(x)>0 dla x∈(−2,3)∪(4,6]x\in(-2,3)\cup(4,6].

Przykład 2 (końce wykresu — pusty czy pełny). Wykres jest narysowany od x=−3x=-3 (kropka zamalowana) do x=5x=5 (kropka pusta), a wartości sięgają od y=−1y=-1 (zamalowana) do y=4y=4 (pusta, nieosiągana gdzie indziej). Wtedy dziedzina Df=[−3,5)Df=[-3,5) — −3-3 należy (nawias kwadratowy), a 55 nie (nawias okrągły); podobnie zbiór wartości Wf=[−1,4)Wf=[-1,4). Zamalowana kropka → koniec wchodzi do odpowiedzi; pusta → koniec wyłączony.

Mini-zadanie: jeśli najniższy punkt wykresu to (5,−2)(5,-2), to najmniejsza wartość funkcji wynosi −2-2 i jest osiągana dla x=5x=5.

Sprawdź się — mini-check (z jednego wykresu)
  • Z której osi czytasz dziedzinę, a z której zbiór wartości?
  • Wykres przecina OX w x=−2 i x=4 — podaj miejsca zerowe.
  • Najwyższy punkt to (0,3) — podaj największą wartość i argument.
  • Dla jakich x jest f(x)>0, jeśli wykres jest nad OX na (−2,3)?
  • „Dla jakich x" — odpowiadasz przedziałem x czy y?
  • Końce: wykres kończy się pustą kropką w x=5 — czy 5 należy do dziedziny?

Przykład

Typowe pułapki i błędy

  • Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości. DfDf czytasz z osi OXOX (poziomo), WfWf z osi OYOY (pionowo).
  • Punkt zamiast miejsca zerowego. Miejsce zerowe to x=ax=a, a nie punkt (a,0)(a,0).
  • „Największa wartość" vs „argument maksimum". Wartość to yy, argument to xx — CKE rozróżnia te pytania.
  • Pomijanie końców wykresu. Sprawdź, czy końce są zamalowane (należą) czy otwarte (nie należą) — to decyduje o nawiasie.
  • Dodatniość zapisana wartościami yy. Dla f(x)>0f(x)>0 podajesz przedziały argumentów xx (fragmenty nad OXOX).
  • Odczyt „na oko" bez skali osi. Jeden odstęp nie zawsze oznacza 11 — sprawdź skalę.

Jak to wygląda na maturze?

Wykres może być cały albo tylko fragment — wtedy końce czytaj bardzo uważnie: zamalowana kropka zwykle oznacza, że punkt należy do wykresu, a pusta — że nie. Typowe polecenia: odczytaj f(2)f(2), rozwiąż f(x)>0f(x)>0, podaj zbiór wartości, wskaż liczbę miejsc zerowych, podaj argument największej wartości.

Wskazówka maturalna: zanim zapiszesz odpowiedź, powiedz sobie „czy mam podać xx, czy yy?". Jeśli pytanie zaczyna się od „dla jakich xx", odpowiedź jest na osi poziomej.

Kluczowe pojęcia

Dziedzina z wykresu

Zakres argumentów x, dla których wykres istnieje

Zbiór wartości

Zakres wartości y, które funkcja przyjmuje

Wartości dodatnie funkcji

Te argumenty x, dla których wykres leży nad osią OX

Wartości ujemne funkcji

Te argumenty x, dla których wykres leży pod osią OX

Największa wartość

Najwyższa wartość y osiągana przez funkcję

Najmniejsza wartość

Najniższa wartość y osiągana przez funkcję

Materiały ZPE

4 materiały

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Własności funkcji — odczytywanie z wykresu
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →